本文來源：WolframChina
太空雜耍是什麼樣的呢?
當我問這個問題時，我並不是想把地球雜耍放到太空。我想知道對於一個太空藝術家來說雜耍是什麼樣的。我努力學習並練習了這個技巧。幾周前，我還在國際雜耍協會2021年冠軍賽上以太空雜耍表演獲得了第一名！
人體轉動慣量
在我第一次拋物線飛行之前，我寫了一個 Mathematica 程式碼來計算人體在不同位置的主要轉動慣量。概述其中一些研究的文章稱為“失重中人體的編舞技術”。下圖是使用該筆記本生成的。
知道主軸很有用，因為最大和最小軸向我們展示了我們可以穩定旋轉的軸。如果系統沒有簡併性，這些是身體可以穩定旋轉的唯一軸。透過構造轉動慣量張量（繞物體質心）來找到軸，然後找到特徵值和特徵向量。
在上面的圖中，藍色和紅色箭頭分別表示的最大和最小軸。如果身體的總角動量與這些軸之一對齊，則身體將穩定旋轉並且不會擺動。我發現有趣的是，身體可以圍繞腹部旋轉，有點像透過圍繞藍色軸旋轉的側手翻。
在失重狀態下扔球
下一個需要了解的細節是，當一個球在失重狀態下投擲時，它沿直線而不是拋物線運動。
我們可以將這兩條資訊放在一起，考慮到一個人可以以側手翻的方式旋轉並將球扔給自己。更有趣的是，我們知道球在慣性空間中沿直線運動，但它們在旋轉座標系中的運動路徑是什麼？雜耍人看到了什麼？
首先，我們需要一個表示雜耍人脊柱方向的函式。假設從頭部到沿脊柱的位置以及雜耍者的雙手之間的距離為 A。我們也可以說雜耍者以角速度ω旋轉。因此
我們想知道從點f［t］到手的位置的偏移量，我們可以縮放和旋轉f［t］來簡化。
記住，任何複數向量乘以一個單位複數會旋轉它，旋轉角度是正實軸和這個向量的夾角。在Mathematica中，如果您有一個單位復向量，您可以計算這個向量的Arg，它會告訴您旋轉角度是多少。
如果我們加上f［t］和g［t］，我們就會得到左手的位置。
如果f［t］減去g［t］，就得到右手的位置。
讓我們快速地看一下目前為止我們都得到了什麼。我們設ω = 2 π，這樣t的值就與轉數成正比。設 t = 1/8 我們可以從座標軸上看到它。
現在我們已經有一種方法來展示身體如何在側手翻運動中旋轉。下一個需要展示一個球的運動。它會沿著直線移動。我們想從一個雜耍者的手開始，我們想它被雜耍者的手抓住。從數學上講，這意味著軌跡將在時間 ti，位置開始，在時間到τ，位置結束。
代表球運動方向的向量是
太空中的球位置從初始點開始，然後在 τ 時間內移動，因此直線慣性空間的軌跡為
我們可以繪製這些軌跡。請看下面左側圖中的線。
更有趣的是觀察旋轉座標系中的軌跡。上面的右圖顯示了雜耍者在旋轉框架中看到的東西。您注意到這些球是如何以弧線運動的嗎？
要在旋轉座標系中生成繪圖，如上圖右側所示，只需將線函式TL乘以一個以相同角速度向相反方向旋轉的指數函式。
阿基米德螺線
讓我們仔細看看代表拋球的方程。簡單地說，我們可以認為我們真的不需要指數之外的虛數，因為它只是代表旋轉。我們可以以更方便的方式定義 g［t］ 。
和我一起看下一組方程。在本節結束時，您會理解我為什麼選擇這個路徑。
給出了不同版本的左手PL和右手PR位置的方程，作為時間的函式
我們可以改寫為
為方便起見，我們可以定義
其中+用於左手位置，-用於右手位置。現在我們可以把這些壓縮成一個語句
採用另外一種約定，我們可以將投擲表示為i或捕捉表示為f。將投擲和捕捉的位置分別表示為Pi［i］和Pf［t］。
球運動的方向是
我們現在可以重寫球的線性軌跡方程。回想一下，投擲將在時間t發生，捕捉在時間 τ 之後。
現在要旋轉我們對球軌跡的視角，透過乘將整個系統旋轉到相反的方向
這實際上與我們在旋轉框架上繪製的函式相同。但是，如果我們看看我們的時間變數結束的地方，我們可以看到方程只是具有指數項乘以線性項。我們可以設定t=0，並寫
現在方程採取形式
這就是阿基米德螺旋方程。
當然，這個方程通常只有一個a，b∈R而在我們的方程中我們允許a，b∈Z。
科里奧利力和離心力
科里奧利力是在整個地球自轉的上下文中考慮的。即颶風或排水。使用線性代數書寫時，該力表示為 FC= -2m（ωxv‘），其中m是物體的質量，ω 是角速度，v’ 是物體在旋轉座標系中的速度。
離心力通常被認為是汽車快速轉向或在旋轉嘉年華騎行中的術語。使用線性代數，我們將力寫為Fcent=-mωx（ωxr‘），其中r’是物體在旋轉座標系中的位置。
這些力很有趣，因為它們是“虛擬力”中最常見的形式，而這個術語通常非常令人困惑。我的困惑往往源於我們使用具有實際力作用的物理系統這一事實。就像在颶風的情況下一樣，有一部分空氣遠離旋轉軸（赤道附近），有一部分接近旋轉軸（赤道以北或北）。這對我來說似乎不是“虛構”的。
在上面的數學中，我們沿著直線扔球，我們知道它不會遇到任何力，它的動量是守恆的。但是，當我們在旋轉框架中檢視它時，它遵循阿基米德螺旋。如果我們檢查我們的解決方案 T，我們會發現 T 滿足微分力方程，包括科里奧利力和離心力方程。
我們必須要麼將我們的復代數移動到線性代數或反之亦然。讓我們在復代數中找到上述微分方程的表示。首先，我們寫
請注意，阿基米德螺線平面和我們選擇的角速度與該平面垂直。這是該系統的快速圖片
這意味著在阿基米德螺線仍然在實虛平面上ω與任意點T、速度或加速度之間的乘積。由於是交叉乘積，所以結果總是垂直於兩個輸入向量。因此我們可以透過其中將交叉乘積轉換為複數記號。
我們可以將我們的微分方程改寫為
現在是做數學的時候了，看看四個解是否滿足這個方程。首先讓我們拿下導數，這樣我們就可以看到它們了。
化簡二階導數
檢查微分方程的右邊
我們可以看到方程的每一邊都是相等的
由此可見，廣義阿基米德螺旋軌跡可以用科里奧利力和離心力來描述。因此，這些力是虛構的這一事實是很明顯的。
總結
在我們這裡發現的方程T中還有很多需要探索和理解的地方。例如，回到上面的“旋轉和非旋轉”操縱物件，再次執行這條線，並輸入τ = 0。3。在旋轉座標系中你會發現一個很有趣的結果。或者我們可以新增多個球，就像雜耍中常見的那樣，看看它們的運動是如何實時聯絡在一起的。
在這次調查中，我發現了一個有趣的現象，那就是在旋轉的宇宙飛船中，所有被丟擲的物體都會沿著同樣的路徑運動。這適用於從2001年飛往木星的旋轉飛船：太空漫遊到《太空無垠》中旋轉的穀神星站。儘管每一種情況下的旋轉速率和半徑差異會導致上面顯示的螺旋的不同部分，但基本軌跡會符合我們發現的T函式。
我在Mathematica和現實生活中用我的身體深入研究了這些方程。我已經開發了太空雜耍技巧，您可以透過檢視我的網站www。theSpaceJuggler。com或社交媒體Instagram、Facebook或Twitter （@ thespacacejuggler）瞭解更多。