霍奇猜想：霍奇猜想是代數幾何的一個重大的懸而未決的問題。它是關於非奇異復代數簇的代數拓撲和它由定義子簇的多項式方程所表述的幾何的關聯的猜想。用通俗的話說，就是“再好再複雜的一座宮殿，都可以由一堆積木壘成”。用文人的話說就是：任何一個形狀的幾何圖形，不管它有多複雜，它都可以用一堆簡單的幾何圖形拼成。在實際工作中，我們無法在二維平面的紙上繪畫出來一種複雜的多維圖形，霍奇猜想就是把複雜的拓撲圖形分拆成為一個個構件，我們只要按照規則安裝就可以理解設計者的思想。
龐加萊猜想：龐加萊根據蘋果表面的橡皮帶做了一個實驗證明蘋果表面是單連通的，而輪胎面不是。於是提出三維球面中與原點有單位距離的點的全體的對應問題這個問題一直困擾著無數個數學家，2002年佩雷爾曼證明了龐加萊幾何化的猜想，獲得數學大會授予的佩雷爾曼菲爾茲獎。
四色問題：四色問題又稱四色猜想、四色定理，是世界近代三大數學難題之一。地圖四色定理最先是由一位畢業於倫敦大學叫格里斯的英國大學生提出來的。簡述：任何一張平面地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家填上不同的顏色。用數學語言表示，即將平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用1，2，3，4這四個數字之一來標記，而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。如今隨著計算機技術的發展，雖然做了百億次的判斷，但只是在數量上取得成功，並不符合數學嚴密的邏輯體系，如今仍然有無數的數學愛好者在研究。內容：任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家填上不同的顏色。也就是說在不引起混淆的情況下一張地圖只需四種顏色來標記就行。用數學語言表示：將平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用1234這四個數字之一來標記而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。
黎曼猜想：1859年，德國數學家黎曼（Riemann）被選為了柏林科學院的通訊院士。黎曼對柏林科學院給予他的這一份崇高的榮譽表示非常感激，而為了表達自己的感激之情，他決定將自己的一篇論文獻給柏林科學院。這篇論文就是《論小於給定數值的素數個數》，研究的就是數學家們一直很感興趣的一個問題——素數的分佈。黎曼將素數的分佈問題歸結為函式的問題，認為有一個特殊的函式（黎曼ζ函式），使其取值為零的一系列的特殊的點（黎曼ζ函式的非平凡零點）決定著素數分佈的細緻規律。