【注】轉自《中國數學會》。
嚴加安，機率學家，中科院數學與系統科學研究院研究員。1964年畢業於中國科技大學，1999年當選為中國科學院院士。從事隨機分析和金融數學研究。1993年獲國家自然科學二等獎， 2002年8月應邀在國際數學家大會上做45分鐘報告，2006年獲何梁何利基金科技進步獎，2007年獲華羅庚數學獎。2010年當選為美國數理統計學會會士（Fellow）。
以下是嚴加安院士在第十屆全國數學文化論壇會議上的報告 “數學如詩，境界為上” 的簡約版。
目錄
1、王國維的“境界說”
2、數學與詩歌的共性
3、高境界數學的例子
4、我的三首數學詩
1.王國維的“境界說”
王國維在《人間詞話》中提出 了“境界說”：詞以境界為最上。有境界則自成高格，自有名句。他說：有造境，有寫境，此理想與寫實二派之所由分。二者頗難分別。因大詩人所造之境，必合乎自然，所寫之境，亦鄰於理想故然也。按我理解，“造境”是以意念和想象為境，“寫境”是描寫現實的景物。
王國維還說：自然中之物，互相限制。然其寫之於文學及美術中也，必遺其關係，限制之處。故雖寫實家，亦理想家也。又雖如何虛構之境，其材料必求之於自然，而其構造，亦必從自然之法則。故雖理想 家，亦寫實家也。
他又說：詩人對宇宙人生，須入乎其內，又須出乎其外。入乎其內，故能寫之。出乎其外，故能觀之。入乎其內，故有生氣。出乎其外，故有高致。
我認為，評價一項數學成就的高低，也應該是境界為上 。數學境界也有“造境”與“寫境”之分，前者是“創造理論”，後者是“解決難題”。數學家也有寫實家和理想家之分，前者是入乎其內， 側重應用數學，後者是出乎其外， 側重純粹數學，但兩者是互通的。
數學的境界包括：
1）大道至簡，大美天成 ；
2）簡潔、和諧、對稱、雅緻；
3）顛覆性的創新；
4）交叉、融合、統一。
王國維還提出：“古今之成大事業、大學問者，必經過三種之境界：‘昨夜西風凋碧樹。獨上高樓，望盡天涯路。’此第一境界也。‘衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴。’此第二境界也。‘眾裡尋她千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處。’此第三境界也。”
關於王國維的治學“三境界”，我的解讀是：他借用晏殊的“獨上高樓，望盡天涯路”來比喻“志存高遠”；借用柳永表現刻骨愛情的詞句來比喻“鍥而不捨”的精神；用辛棄疾 的“驀然回首，那人正在燈火闌珊處”來比喻“在經過艱苦探索後突然有所發現”。因此，王國維的治學“三境界”可以解讀為“志存高遠、艱苦探索、最終頓悟”，這是任何科學發現所必須經歷的三個階段。
2. 數學與詩歌的共性
數學家哈代認為：數學家的活動與藝術家的活動很多是共同的、相像的。他說：“畫家進行色彩與形態的組合，音樂家把音階組合起來，詩人組詞，數學家是把一定型別的概念組合起來”。因此，無論是藝術家還是數學家，他們做的工作都是組合，只是組合物件不同。
數學家維納認為：“數學是一門精美的藝術”。
數學與詩歌有許多共性，歸納為八點。
首先，數學和詩歌的源泉都是自然和社會。
宋代大詩人陸游告誡兒子說：“汝果欲學詩，功夫在詩外。”這個詩外是詩人對日常生活和大自然細緻的觀察、體驗、感知，這是詩歌創作的源泉。做數學研究也與詩歌創作類似。數學史家克萊因認為：“對自然的深入研究是數學發現最豐富的源泉。”
數學家龐加萊指出：“把外部世界置諸腦後的純數學家就好比是懂得如何把色彩與形態和諧地結合起來但沒有模特兒的畫家，他的創造力很快就會枯竭。”
丘成桐在一次公眾講演中說過，他的研究工作深受物理學和工程學的影響，這些科學提供了數學很重要的素材。他說：“沒有物理上的看法，很難想象單靠幾何的架構，就能夠獲得深入的結果。”
第二，數學和詩歌都追求和諧與簡潔。
數學之美在於對真理的精確表述，對邏輯的完美演繹。詩歌之美在於對情感的含蓄吐露，對意境的精妙營造。這兩種美都追求 “簡潔美”。愛因斯坦說過：“美在本質上終究是簡單性。”希爾伯特說過：“數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發現密切聯絡著。”
數學的和諧是不言而喻的，例如，數學各分支中公理化體系必須是和諧的。至於數學的簡潔，一方面數學結果是透過簡明的命題或定理的形式來表述的；另一方面，在研究過程中，數學家追求簡潔，即追求在較少條件下推出儘可能廣泛而深刻的結論，或者力圖簡化已有結果的證明。
第三，數學中的“對偶”與詩詞中的“對仗”是異曲同工。
詩詞中的“對仗”能使意境更加優美，抒情更加感人，哲理更加深邃。數學中的“對偶”使得數學理論變得更加深刻，更加優美。在數學的各個分支都有對偶理論。“對偶”不只是數學的結構和框架，而且是一種思維方式，也是重要的證明工具和技巧。
第四，數學和詩歌的創作都需要直覺和想象力。
任何科學和藝術的創作都需要直覺和想象力，但數學和詩歌更為突出。例如，李賀《夢天》中詩句“遙望齊州九點菸，一泓海水杯中瀉”和李白《望廬山瀑布》中詩句“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”就極富直覺和想象。這種直覺和想象是源於詩人的形象思維。
數學史家克萊因說：“數學也是一門需要創造性的學科。在預測能被證明的內容時，和構思證明的方法時一樣，數學家們利用高度的直覺和想象。”這和詩歌創作時構思意境和遣詞造句非常類似。
數學家魏爾斯特拉斯說：“一個數學家，如果沒有一點詩人的氣質，不會是一個完滿的數學家。”一個數學家不一定要會寫詩，但是氣質上要像詩人，即要有豐富的直覺和想象力，這樣才能做好數學研究。
第五，詩歌創作和數學研究都需要激情和靈感。
詩人有了激情才能把自己的感悟加深和放大，把內心情感宣洩出來，作品才能打動人和感染人。對數學研究來說，激情來自於探求未知真理的好奇和對美的追求。
什麼是靈感？靈感也叫頓悟，它是一種近乎無意識或潛意識的非邏輯式的創造性思維活動。靈感是對某一問題長期思考以後突然產生的思想火花，有時產生於全神貫注思考問題之際，有時卻是在不經意間或意識朦朧之中。
第六，數學研究和詩歌創作都需要有美感。
法國數學家龐加萊認為：“美感，對美觀與優雅的感覺，在數學的成功中是一個重要的因素。” 他在《數學創造》一文中形象地描述了數學美感在數學創造過程中的作用 ，他說：“各種數學概念在潛意識裡碰撞組合，數學直覺從中篩選有意義的組合，進而進行創造。…… 潛意識做出選擇時，所用的標準便是數學的美感，數和形的和諧感，幾何學的雅緻感。”
數學史家克萊因認為：“進行數學創造的最主要驅動力是對美的追求。”他曾對數學美作過如下描述：“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心絃，哲學使人獲得智慧，科技可以改善物質生活，但數學卻能提供以上一切。”
第七，“創新”是數學和詩歌的共同美學準則（即評價標準）。
藝術家把“創新”叫做“藝術風格”。例如，李白的詩“豪邁奔放，飄逸若仙”，是浪漫主義風格；杜甫的詩則“深沉蘊蓄，抑揚曲折”，是現實主義風格。對數學研究而言，創新必須是在一定科學範圍內有比較重要的意義。
最後，數學和詩歌的另一共同美學準則是王國維《人間詞話》中說的“境界為上”。
3. 高境界數學的例子
1）大道至簡，大美天成
尤拉公式1
簡單凸多面體的頂點數V、面數F及稜數E間有如下關係：
尤拉公式2
費爾馬大定理
2）簡潔、和諧、對稱、雅緻
龐加萊猜想：
單連通3維閉流形同胚於3維球面。
孿生數猜想：
存在無窮多對素數，其差等於2 。
哥德巴赫猜想、黎曼猜想
伽羅瓦群論，黎曼幾何，
哥德爾不完備定理，
伊藤清的隨機分析，
夏農資訊理論，
3）顛覆性的創新
格羅滕迪克的“概形理論” scheme theory。20世紀50-60年代，格羅滕迪克對代數幾何進行了徹底的革命，建立了“概形理論” ，1966年獎菲爾茲獎。
在概形理論的基礎上，數學家們取得了一系列傑出成就：
1973年， 德利涅證明了韋伊猜想（1978獲菲爾茲獎）；
1983年， 法爾廷斯證明了莫德爾猜想（1986年獲菲爾茲獎）；
1995年， 懷爾斯證明了有350多年曆史的費馬大定理（1996年獲菲爾茲特別獎） 。
4） 交叉、融合、統一
1. Atiyah-Singer 指標定理：
緊流形上的橢圓偏微分運算元的解析指標（與解空間的維度相關）等於拓撲指標（決定於流形的拓撲性狀）。
2.朗蘭茲綱領：
朗蘭茲綱領是將數學中某些表面上毫不相干的領域（數論、代數幾何與約化群表示理論）建立一種本質聯絡的構想。綱領是由朗蘭茲於1967年在一封給韋伊的信件中提出的後來被稱為的朗蘭茲互反猜想演變而來的。法籍越南數學家吳寶珠因證明朗蘭茲綱領基本引理獲得了2010年菲爾茲獎。朗蘭茲本人獲2018年度阿貝爾獎。
5）分形幾何學與“分形藝術”
分形幾何學是一門以不規則但具有自相似結構的幾何形態為研究物件的幾何學，在物理學、生物學和醫學等領域有重要應用。“分形藝術”是用分形幾何理論產生影象，然後用數學方法對放大區域進行著色處理，就變成一幅精美的藝術圖案，這些藝術圖案被稱之為“分形藝術”。
下面展示4幅分形藝術。
6）大美天成的證明
介紹了40多個著名數學問題極富創造性和獨具匠心的證明。這是一本開闊數學視野和提高數學修養的著作。該書已被譯成十多種文字，有中譯本，第3 版書名《數學天書的證明》，我建議譯為《數學天成之證》。
4. 我的三首數學詩
詠李天巖
科學詩：隨機與機率
熙熙人群朋友不期而遇，茫茫宇宙隕星意外撞擊。
隨機事件發生並非隨意，機率破解其中奧秘玄機。
情境重複催生稀有事件，歷史長河沉澱自然奇蹟。
同班同學常有生日相同，彩民兩次中獎並不神奇。
抵押貸款房產汽車按揭，精巧設計需要藉助機率。
保費計算基於機率模型，期權定價有賴隨機分析。
機率技巧有助破解密碼，人工智慧需用機率邏輯。
日常生活常遇機率問題，學點機率知識終身受益。
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