當今時代，人們的壓力越來越大，迷茫不可避免。網上也流傳著一個最火的說法：迷茫就是因為才華配不上夢想”。雖然略顯雞湯，卻也不無道理。不過，更確切地解釋應該是：迷茫，是因為你只站在原地瞎想。畢竟，想，都是問題；做，才是答案。
做，尤其做決定時人們往往會經歷兩個階段：一是做決定前的思考階段，一是做決定後悔恨、無奈的階段。事實證明，這兩個階段正好成反比。也就是說，你用於思考的時間越少，你的悔恨無奈就越多，反之亦然。
有一個父親過世之後，只留給兒子一幅古畫，兒子看了十分失望，正要把畫束之高閣，突然覺得畫的卷軸似乎異常的重，他撕開一角，驚奇地發現不少金塊藏在其間，於是立刻把畫撕破，取出了金子。然後他又看到卷軸中藏有一張字條，寫著畫是古代名家所繪的無價之寶。可惜畫已經在他衝動之下撕得破碎不堪了。
許多人做決定時最常說的話就是：“做了再說！”“唉，船到橋頭自然直！”雖然說任何決定的意義都取決於自己的價值觀和人生需求，但這卻不代表我們可以憑情緒隨便行動。
人生有很多抉擇，都是在過急的情況下出錯的。因此，做決定前，請給自己一分鐘做最後的檢查、比較和判斷，或許，你會發現新的盲點。所謂“三思而後行”，說的就是這個道理。
當我們面對時刻變化著、發展著的世界時，對事物的認識可能會出現一些錯誤。因此，我們經常會遇到因考慮不周、魯莽行動而造成損失的情況，所以，我們遇事才要“三思而後行”，這是老祖宗留給我們的最好的智慧。
在一元一次方程的相關知識的學習中，應透過典型的問題題，尤為解帶分母一元一次方程需要注意的步驟，能夠突出分數線的括號作用、乘法分配律的漏乘問題、等是基本性質的漏乘問題。
要求學生能夠在錯誤中總結，在困難中尋找解決方法，增加了學生的成就感和繼續探究的熱情。
知識要點
1．概念：
（1）方程：含有未知數的等式。
注意：①方程是等式②方程中必須有字母。
（2）方程的解：使方程左、右兩邊相等的未知數的值。
所以在檢驗一個數是否是方程的解時，把這個人數代入方程的左右兩邊，看看左右是否相等，如果，左邊＝右邊，則是方程的解，反之，就不是該方程的解
（3）一元一次方程：只含有一個未知數（元），並且含有未知數的次數都是1的方程叫做一元一次方程．
注意：①含有一個未知數；②未知數的次數是1；③方程兩邊的代數式都是整式；④未知數的係數不能為0。
2
．變形規律：
（1）利用等式性質：①方程的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得方程與原方程同解。
②方程的兩邊都乘以（或除以）同一個不為0的數，所得方程與原方程同解。
（2）移項法則：方程中的任何一項都可以在改變符號後，從方程的一邊移到另一邊。
3．解方程的一般步驟：
在解具體方程時應靈活運用解一元一次方程的一般步驟，決不能生搬硬套，同時應根據方程的結構特點，注意技巧的運用。 注意移項時的符號變化；注意去分母時分數線起著括號作用；去括號的依據是分配律和去括號法則，注意不要漏乘括號內的每一項；若括號前面是“－”號，記住去括號時括號內各項都要改變符號。
4
．列方程解應用題的步驟：
①審：弄清題意與題目中的數量關係；
②設：用字母表示題目中的一個未知數；
③找：找出一個能表示應用題全部含義的一個相等關係；
④列：據相等關係列出一元一次方程；
⑤解：解所列方程，求出未知數的值；
⑥答：檢驗並寫出答案。
常見的數量關係歸納
1。 和、差、倍、分問題：
（1）倍數關係：透過關鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長率……”來體現。
（2）多少關係：透過關鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩餘……”來體現。
2。 等積變形問題：
形狀面積變了，周長沒變；原料體積＝成品體積。
3。 勞力調配問題：
這類問題要搞清人數的變化，常見題型有：
（1）既有調入又有調出；
（2）只有調入沒有調出，調入部分變化，其餘不變；
（3）只有調出沒有調入，調出部分變化，其餘不變。
4。 數字問題：
（1）要搞清楚數的表示方法：一個三位數的百位數字為a，十位數字是b，個位數字為c（其中a、b、c均為整數，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9），則這個三位數表示為100a+10b+c。
（2）數字問題中一些表示：偶數用2n表示，連續的偶數用2n+2或2n—2表示；奇數用2n+1或2n—1表示。
5。工程問題：工程問題中的三個量及其關係為：工作總量=工作效率×工作時間 。
6。行程問題：
（1）行程問題中的三個基本量及其關係： 路程=速度×時間。
（2）基本型別：相遇問題，追及問題；常見的還有：相向而行；行船問題；環形跑道問題等。
7。 商品銷售問題：
商品利潤=商品售價—商品進價=商品標價×折扣率—商品進價，
商品利潤率=商品利潤/商品進價 ，商品售價=商品標價×折扣率。
8。 儲蓄問題
⑴ 顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時間叫做期數，利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅。
⑵ 利息=本金×利率×期數，本息和=本金+利息，利息稅=利息×稅率（20%）。
注意：
“設”與“答”兩步必須寫清單位名稱．
解決實際問題時，應根據題意靈活設元，注意檢驗方程的解是否符合實際意義。在具體列方程解決實際題時審題是基礎，列方程是關鍵，找相等關係是難點；因此，應注意找準題目中的相等關係，可以藉助於線段、表格、圖形等方法進行分析。
典型問題
例1．（2022橋西區校級模擬）已知m＝n，下列等式不成立的是（）
A．m+n＝2m B．m﹣n＝0
C．m﹣2x＝n﹣2xD．2m﹣3n＝5n
【分析】
根據等式的性質即可解答．
【解答】
：A、在等式m＝n的兩邊同時加上m得：m+m＝n+m，即m+n＝2m，原變形正確，故此選項不符合題意；
B、在等式m＝n的兩邊同時減去n得：m﹣n＝0，原變形正確，故此選項不符合題意；
C、在等式m＝n的兩邊同時減去2x得：m﹣2x＝n﹣2x，原變形正確，故此選項不符合題意；
D、在等式m＝n的兩邊同時乘2，再加上3n得：2m+3n＝2n+3n，即2m+3n＝5n，原變形錯誤，故此選項符合題意．
故選：D．
變式1．（2022鎮海區校級二模）下列等式變形：（1）如果ax＝ay，那麼x＝y；
（2）如果a+b＝0，那麼a
2
＝b
2
；（3）如果|a|＝|b|，那麼a＝b；
變式2．（2022石家莊模擬）能運用等式的性質說明如圖事實的是（）
A．如果a+c＝b+c，那麼a＝b（a，b，c均不為0）
B．如果a＝b，那麼a+c＝b+c（a，b，c均不為0）
C．如果a﹣c＝b﹣c，那麼a＝b（a，b，c均不為0）
D．如果a＝b，那麼ac＝bc（a，b，c均不為0）
【分析】
根據等式的性質解答即可．觀察圖形，是等式a+c＝b+c的兩邊都減去c（a，b，c均不為0），利用等式性質1，得到a＝b，即如果a+c＝b+c，那麼a＝b（a，b，c均不為0）．故選：A．
變式3．（2022新昌縣二模）有8個球編號是①至⑧，其中有6個球一樣重，另外兩個都輕1克，為了找出這兩個輕球，用天平稱了三次：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧輕，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一樣重．那麼，兩個輕球的編號是（）
A．③④ B．③⑥ C．③⑤ D．④⑤
【分析】
∵①+②比③+④重，∴③與④中至少有一個輕球，
∵⑤+⑥比⑦+⑧輕，∴⑤與⑥至少有一個輕球，
∵①+③+⑤和②+④+⑧一樣重可知兩個輕球的編號是④⑤．
故選：D．
例2．（2022十堰中考題）我國古代數學名著《張邱建算經》中記載：“今有清酒一斗直粟十鬥，醑酒一斗直粟三鬥．今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？”意思是：現在一斗清酒價值10鬥穀子，一斗醑酒價值3鬥穀子，現在拿30鬥穀子，共換了5斗酒，問清、醑酒各幾鬥？如果設清酒x鬥，那麼可列方程為（）
A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30
【解析】
設清酒x鬥，則醑酒（5﹣x）鬥，
由題意可得：10x+3（5﹣x）＝30，故選：A．
變式1．（2022隨州中考題）我國元朝朱世傑所著的《算學啟蒙》中記載：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里．駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之．”意思是：“跑得快的馬每天走240裡，跑得慢的馬每天走150裡，慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？”若設快馬x天可以追上慢馬，則可列方程為（）
A．150（12+x）＝240x B．240（12+x）＝150x
C．150（x﹣12）＝240x D．240（x﹣12）＝150x
【分析】
設快馬x天可以追上慢馬，根據路程＝速度×時間，即可得出關於x的一元一次方程，此題得解．設快馬x天可以追上慢馬，
依題意，得：150（x+12）＝240x．故選：A．
變式2．（2022岳陽中考題）我國古代數學著作《孫子算經》中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡，問：城中家幾何？大意為：今有100頭鹿進城，每家取一頭鹿，沒有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完，問：城中有多少戶人家？在這個問題中，城中人家的戶數為（）
A．25 B．75 C．81 D．90
變式3．（2022河北中考題）“曹衝稱象”是流傳很廣的故事，如圖．按照他的方法：先將象牽到大船上，並在船側面標記水位，再將象牽出．然後往船上抬入20塊等重的條形石，並在船上留3個搬運工，這時水位恰好到達標記位置如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個搬運工，水位也恰好到達標記位置．已知搬運工體重均為120斤，設每塊條形石的重量是x斤，則正確的是（）
A．依題意3×120＝x﹣120
B．依題意20x+3×120＝（20+1）x+120
C．該象的重量是5040斤
D．每塊條形石的重量是260斤
【分析】
由題意得出等量關係為：
20塊等重的條形石的重量+3個搬運工的體重和＝21塊等重的條形石的重量+1個搬運工的體重，
∵已知搬運工體重均為120斤，設每塊條形石的重量是x斤，
∴20x+3×120＝（20+1）x+120，
∴A選項不正確，B選項正確；
由題意：大象的體重為20×240+360＝5160斤，∴C選項不正確；
由題意可知：一塊條形石的重量＝2個搬運工的體重，
∴每塊條形石的重量是240斤，∴D選項不正確；
綜上，正確的選項為：B．故選：B．
例3．（2022德宏州模擬）若x＝﹣3是一元一次方程2（x+k）＝5（k為實數）的解，則k的值是（）
【分析】
本題主要考查了方程解的定義，已知x＝﹣3是方程的解實際就是得到了一個關於k的方程．
【解答】
：根據題意把x＝﹣3代入方程2（x+k）＝5，
得：2（﹣3+k）＝5，解得：k＝11/2．故選：D．
變式2．（2022春封丘縣月考）對於兩個不相等的有理數m，n，我們規定符號max{m，n}表示m，n兩數中較大的數，例如max{5，﹣2}＝5．按照這個規定，方程max{x，﹣x}＝3x+2的解為（）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣1/2
C．x＝1 D．x＝﹣1或x＝﹣1/2
【分析】
分x＞﹣x和x＜﹣x兩種情況，得到兩個方程，分別求解即可．
【解答】
：當x＞﹣x時，即x＞0，
max{x，﹣x}＝x，∴x＝3x+2，解得：x＝﹣1，
∵x＞0，∴x＝﹣1不符合條件，捨去，
當x＜﹣x時，即x＜0，
max{x，﹣x}＝﹣x，∴﹣x＝3x+2，解得：x＝﹣1/2，
∵x＝﹣1/2＜0，∴x＝﹣1/2滿足條件，故選：B．
變式3．（2022春長沙期中）規定關於x的一元一次方程ax＝b的解為b﹣a，則稱該方程是“郡園方程”，例如：3x＝4。5的解為4。5﹣3＝1。5，則該方程3x＝4。5就是“郡園方程”．
（1）若關於x的一元一次方程2x＝m是“郡園方程”，求m的值；
（2）若關於x的一元一次方程2x＝ab+a是“郡園方程”，它的解為a，求a，b的值；
（3）若關於x的一元一次方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“郡園方程”，
例4．（2022馬鞍山二模）某奶茶店的一款主打奶茶分為線上和線下兩種銷售模式，消費者從線上下單，每次可使用“滿30減28”消費券一張（線下下單沒有該消費券），同規格的一杯奶茶，線上價格比線下高20%，外賣配送費為4元/次，訂單顯示用券後線上一次性購買6杯實際支付金額和線下購買6杯支付金額一樣多，求該款奶茶線下銷售價格．
【分析】
設該款奶茶線下銷售價格為x元/杯，則線上銷售價格為（1+20%）x元/杯，根據用券後線上一次性購買6杯實際支付金額和線下購買6杯支付金額一樣多，即可得出關於x的一元一次方程，解之即可得出結論．
【解答】
：設該款奶茶線下銷售價格為x元/杯，則線上銷售價格為（1+20%）x元/杯，
依題意得：6×（1+20%）x﹣28+4＝6x，
解得：x＝20．
答：該款奶茶線下銷售價格為20元/杯．
變式1．（2021秋沙坡頭區校級期末）列方程解應用題
元旦期間，七（1）班的小明、麗麗等同學隨家長一同到某公園遊玩．下面是購買門票時，小明與他爸爸的對話（如圖），試根據圖中的資訊解答下列問題：
（1）小明他們一共去了幾個成人，幾個學生？
（2）請你幫助小明算一算，用哪種方式購票更省錢？說明理由．
（3）買完票後，小明發現七（2）班的張小濤等8名同學和他們的12名家長共20人也來買票，請你為他們設計出最省的購票方案，並求出此時的買票費用．
