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山西臨汾魏村牛王廟屋架與藻井
拋開八角形平面的磚石建築不談，說說八邊形的木結構。還是從過去的記載談起。正八邊形要牽扯到√2 的長度比例關係和45度的角度關係，存在無理數。
山西應縣佛宮寺釋迦塔外景
不過正如數學史家李儼先生專門論述的那樣，中國古代正八邊形的實用做法從一個直角三角形開始，以整數比例簡化處理，並且不需要藉助圓規——實際操作起來，彈線的平直要比釘上木橛、拴上大繩轉圈畫圓來得踏實、準確些。
中嶽廟御碑亭立面圖
因此，高水平的木匠師傅會根據不同施工內容確定需要什麼樣的精確程度，再使用不同精度的口訣。事實上這是匠人們心裡的事情，我並無直接的證據。然而，如果把匠家的口訣與實地測量的結果對照起來，一些有趣的故事就浮出水面了。
口訣四則
《營造法式》中的“八稜”幾何關係示意圖
1
八稜徑六十，每面二十有五，其斜六十有五。
這是宋代李誡在《營造法式》“看詳”中“謹按《九章算經》及約斜長等密率”定出的比例演算法。這裡每面長與“徑、面差之半”的比率為1。42857，與√2真值存在約1%的誤差；而八角正面、徑、斜三者，25、60和65，正好構成了一組勾股數，頗為完美。因此這個演算法所描述的是中等精度的近似正八角形，正面略大而斜面略小，而簡化方法甚有巧思。
樣式雷文件中的“八角”比例關係示意圖
2
八角，每面求角至角用二六一二扣。每面求面對面用二四一四扣。
每面求三角至三角用一八四七扣。每面求角至中用一三空六扣。每面求面至中用一二空七扣……八角，斜有每面正寬若干用一空八二因，搭角斜用一四一四因。
這是清樣式雷世家遺留下來的抄本記載下來的關於八角形演算法的歌訣。這是已知正八角邊長，求主次對角線、對面距、外接圓半徑和內切圓半徑。作為西學傳入中國後的演算法，√2取值精確到1。414，但是保留的末位有效數字沒有得到四捨五入的修正。比起口訣一，這樣的計算固然在精度上有所提高，問題是明白“差一寸不用問”的匠人們會接受繁瑣的尾數嗎？
樣式雷文件中的“四大面四小面”比例關係示意圖
3
定四大面四小面，四大面以面對面進深四分之二定之，四小面以進深四分之一定之，又用一四一四加料定之。
這也是樣式雷抄本中的記載，√2取值精確到1。414。所不同的是，這裡描述的不是正八角，而是正面是通面闊一半，斜面比正面小，僅為通尺寸√2/4的抹角正方形。
樣式雷文件中的“八角容方法”示意圖
4
定八角面闊歌，系八角容方法。
八角原來從內方，內方分中斜之長，長將內方須減去，餘留折半作勾詳，另將內方半為股，勾股求弦寬自揭。若以面對面中取，四面二數可當。又法用四一四因之。
樣式雷記錄的這則口訣更像是闡述幾何規律，乍看上去還有些不知所云。其實，這裡的關鍵詞是“八角容方”四個字。參照圖示可以看出，這裡的內方是八方相間四個端點所構成的，接下來的演算法便一氣呵成，無須解釋。至於“若以面對面中取，四面二數可當。又法用四一四因之”，所述不詳，大致是概括了八方邊長和總寬之間的關係。
四川平武報恩寺御碑亭外景
原文作者：劉暢
原文出處：摘選自《紫禁城》2011年3月刊《雕蟲故事—八角》（因篇幅限制，文章有刪減）
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