當我們分析時間序列模型的結果時，一個常見的問題是明顯的季節性變化，在這種情況下，時間系列在一年之內出現有規律的運動。乍一看，使用自迴歸時間序列模型似乎可以排除季節性。畢竟，自相關係數會因季節而異。但是，我們一般透過在自迴歸模型中使用季節滯後項來解決此問題。
季節滯後項通常是當前時期前一年的時間序列值，作為自迴歸模型的額外項包括在內。例如，假設我們使用AR（1）模型對特定的季度時間序列進行建模，xt=b0+b1xt-1+εt。如果時間序列具有明顯的季節性，則將無法正確指定此模型。由於可以對殘差的季節自相關係數（第四個自相關係數）顯著區別於0的原假設進行檢驗，因此季節性可以很容易識別。在這種情況下，我們可以在自迴歸模型中新增一個季節性滯後項，xt=b0+b1xt–1+b2xt–4+εt，以檢驗包含季節滯後項的方程是否可以消除殘差在統計上的顯著自相關。
我們將透過案例講解如何在時間序列模型中檢驗和調整季節性。我們還將說明如何使用具有季節滯後項的自迴歸模型來預測模型結果。
案例 星巴克的銷售季節性
早些時候，我們得出結論，我們不能僅使用時間趨勢線來模擬星巴克的季度銷售額對數，因為迴歸的Durbin-Watson統計量顯示了殘差中存在正序列相關。我們接下來會使用銷售對數的一階差分從資料中去除指數趨勢，以獲得協方差平穩的時間序列。
對於從1995年第一季度到2012年最後一個季度的季度資料，我們使用普通最小二乘法估計以下AR（1）模型：（ln銷售額t-ln銷售額t-1）=b0+b1（ln銷售額t-1-ln銷售額t-2）+εt。下表顯示了迴歸結果。
表中要注意的第一件事是殘差的強季節自相關。該表的底部顯示第四個自相關係數的值為0。7667，t統計量為6。60。該模型有74個觀測值和兩個引數，具有72個自由度。t統計量的臨界值在0。05的顯著水平下約為1。99。根據t統計量的值，我們必須拒絕原假設，即第四個自相關係數等於0，因為t統計大於臨界值1。99。
在該模型中，第四個自相關是季節自相關，因為AR（1）模型是用季度資料估計的。上表顯示了在沒有考慮季節性的情況下對具有很強的季節性的時間序列進行建模時出現的統計上顯著的季節性自相關特徵。因此，AR（1）模型是錯誤的，我們不應該將其用於預測。
假設由於季節自相關，我們決定使用具有季節滯後的自迴歸模型。我們對季度資料建模，因此我們估算公式：（ln銷售額t-ln銷售額t-1）=b0+b1（ln銷售額t-1-ln銷售額t-2）+b2（ln銷售額t-4-ln銷售額t-5）+εt。將季節性差異ln銷售額t–4–ln銷售額t–5相加是為了消除資料中一致的季度模式，並且還可以消除存在的季節性非平穩性。該方程式的估計值見下表。
請注意，下表底部的殘差自相關係數。當在迴歸中新增季節性滯後項時，銷售額對數一階差方的係數（t統計量為–1。1148）不再具有統計顯著性。但是，前四個自相關係數的t統計量現在都不顯著。因為總體迴歸非常顯著（F檢驗在0。01水平上顯著），所以我們可以將具有季節滯後項的AR（1）模型作為星巴克銷售額的合理模型。
我們如何解釋該模型中的係數？要預測星巴克當前季度的銷售增長，我們需要知道兩件事：上一季度的銷售增長和四季度之前的銷售增長。如果這兩個季度的銷售額都保持不變，那麼下表中的模型預測本季度的銷售額將增長0。0084（0。84%）。如果上一季度的銷售額增長了1％，而四季度之前的銷售額增長了2％，則該模型預測該季度的銷售額增長將為0。0084-0。0602（0。01）+0。8048（0。02）=0。0239或2。39％。請注意，具有季節滯後項的模型中的R2（0。8163）比沒有季節滯後項模型中的R2（0。1548）高出五倍以上。因此，季節性滯後模型在解釋資料方面做得更好。
案例零售額增長
我們希望預測加拿大家居商店的每月零售額增長，以便決定是否推薦這些商店的股票。我們使用零售銷售中非季節性調整的資料。首先，我們透過觀察1995年1月至2012年12月零售額年均增長情況來估計AR（1）模型。
我們估計以下等式：銷售增長t=b0+b1銷售增長t-1+εt。下表顯示了該模型的結果。
表的底部顯示了該模型的殘差自相關係數，表明該模型的季節性非常顯著。該模型具有216個觀測值和兩個引數，214個自由度。
在0。05顯著性水平下，t統計量的臨界值約為1。97。第12個滯後自相關係數的值為0。7620，t統計量為11。21。此自相關的t統計量大於臨界值（1。97），這意味著我們可以拒絕原假設，即第12個自相關係數為0。注意，表中顯示的許多其他自相關係數的t統計量與0有顯著差異。因此，表中顯示的模型沒有被正確指定，我們不能依靠它來預測銷售增長。
假設我們將銷售增長的季節性滯後新增到AR（1）模型中，以估算方程式銷售增長t=b0+b1（銷售增長t-1）+b2（銷售增長t-12）+εt。下表也給出了估計該方程的結果。季節性自相關係數（第12個自相關係數）的估計值已降至-0。1168。前12個自相關係數的t統計量絕對值都沒有大於0。05顯著性水平下的臨界值1。97。
我們可以得出結論，該模型的殘差中沒有明顯的序列相關性。因為我們可以合理地認為該模型已正確指定，所以我們可以使用它來預測零售額的增長。請注意，有季節滯後係數的R2為0。6724，比無季節滯後係數的R2大得多。
我們如何解釋模型中的係數？要預測本月零售銷售的增長，我們需要知道上月的零售銷售增長和12個月前的零售銷售增長。如果上個月和12個月前的零售額保持不變，模型預測本月零售額將以年增長率23。7%左右增長。如果上月零售銷售年增長率10%，12個月前的年增長率為5%，該模型預測，零售銷售年增長率將是0。2371-0。0792（0。10）+0。7798（0。05）=0。2682或26。8%。
