1、方向導數的定義
設二元函式
在點
的某鄰域內有定義，向量
對應的單位向量為
，其中
為向量
的方向角，則當極限
存在時，則稱該極限為
函式
在點
處沿方向
的方向導數，記作
【注】
從實際應用與通用性角度，這裡定義方向導數
。有些教材對方向導數的定義
的取值可正可負，雖然可以視偏導數為其特殊情況，但是其條件對於實際應用來說太強！當然如果一個函式沿著指定方向及其反方向方向導數存在且互為相反數，則定義與
一樣可得到有效結論。 對於一般向量與函式，可以定義為
2、二元函式方向導數的幾何意義
設
表示空間曲面
，則方向導數
表示過點，且平行於
面上的向量
和垂直於
的平面
與曲面
的交線在點
處的切線的斜率．
【注】
特別地，
與
分別為函式
在點
處沿兩座標軸方向
及
的方向導數．
3、方向導數的計算
如果函式
在點
可微，那麼函式在該點
沿任意方向
向量
的方向導數都存在，且有
其中
為向量
的方向餘弦，由於
互餘，故向量
的單位向量方向餘弦也可記作
，即
4、梯度
二元函式
與三元函式
的
梯度
（
梯度向量
），記作
或
分別定義為：
5、多元函式方向導數與梯度的關係
方向導數是函式梯度在方向向量
上的投影：
(1)
梯度方向是函式值上升最快的方向，而函式值下降最快的方向是負梯度方向．通常，把梯度方向與負梯度方向分別叫做函式的
最速上升方向
與
最速下降方向
．
(2)
函式在最大值點或最小值點處的梯度為零向量．
(3)
與梯度方向成銳角的方向是函式上升的方向，與梯度方向成鈍角的方向是函式下降的方向．
(4)
二元函式、三元函式的梯度向量分別是相應的
等值線、等值面的法線的方向向量
。
6、函式可微、偏導數、方向導數存在的關係
偏導數存在則沿著座標軸方向的方向導數存在
沿著座標軸正負方向方向導數互為相反數，則偏導數存在
關於
二元函式連續性，可導性，可微性，偏導數的存在性與連續性，方向導數等
內容的詳細討論與例項分析，參見“
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中“
多元函式的基本性質與全微分
”章節的影片教學。
該章節供包含如下10個教學影片：
第1節：二元函式極限存在性的判定思路與方法
第2節：二元函式連續性的判定思路與方法
第3節：二元函式偏導數的存在性與偏導函式連續性的判定思路與方法
第4節：二元函式的可微性的討論
第5節：二元函式連續、偏導數存在、可微關係的討論例項分析
第6節：全微分與多元函式的原函式計算思路與方法例項解析
第7節：方向導數及常見物理量計算公式
第8節：偏導數與函式的變化率之求解選擇題的數形結合法例項解析
第9節：應用二元函式的泰勒公式比較函式值的大小
第10節：函式值大小比較之求解選擇題的特殊法例項解析
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