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黃金對數螺線的近似是眾所周知的。我們證明，任何對數螺旋都可以用類似的方法用四分之一圓來近似。我們在一個長寬比為√φ的矩形上進行構造，並執行座標重新引數化，我們獲得了平面的美學劃分作為我們的主要藝術品。
對數螺線
自然結構存在著各種對數螺旋或近似的螺旋。例如鸚鵡螺的外殼、旋風的中心、星系的（螺旋）臂、植物的軸模式、或曼德布羅特集的子結構，見圖1。對數螺旋的構造在很多出版物中都有介紹。在此僅舉一些例子，在［7］中，對數螺旋是虛擬螺旋麵模型的基本靈感來源。對數螺旋在建築中的使用請見文獻［2］。與本文有些類似，［5］將對數螺旋的經典構造從三角形擴充套件到一般的多邊形構造中。
圖1：對數螺線的自然近似的例子。從左到右：鸚鵡螺殼、氣旋中心、星系旋臂、羅馬西蘭花中的葉序模式和曼德布羅特集合的一部分（類似於［6］中討論的對數螺線）。所有圖片均來自pixabay。com。
從數學的角度來看，對數螺線是一條特殊的曲線，它從中心向外增長，每一個角度都有一個恆定的係數。它可以用r（t）和導數r`（t）進行引數化，如下所示：
對於常數a∈R。這裡，a=0對應於退化的情況，在這種情況下，螺線會坍縮成一個圓。對於a0，曲線在t增長時向外螺旋。r（t）和r`（t）之間的角度在所有情況下是恆定的，正如下面的計算所顯示的，其中表示兩個向量v和w的內積。
引數=2 ln（φ）/π的對數螺旋按黃金比例=（√5+1）/2在逆時針方向轉了四分之一圈，通常被稱為黃金螺旋。雖然圖1所示的鸚鵡螺殼經常被引用為自然界中黃金螺旋的例子，但這種說法的證據大多是傳聞［3］。事實上，研究發現不同個體以及不同種類的鸚鵡螺有幾個比率，見［1］。同樣，圖1中的其他例子也只是黃金螺旋或各自其他對數螺旋的近似。
在後文中，我們首先回顧了透過四分之一圓對黃金螺旋進行的經典近似。對這一結構的概括使我們能夠近似任意的對數螺旋。這些螺旋線可以反過來進行重構，從而形成平面密鋪和最終的藝術品。
用四分之一圓逼近黃金對數螺旋
對於古典建築，我們從黃金矩形開始，切下一個正方形，然後畫上一個四分之一圓。初始黃金矩形的其餘部分也是黃金矩形，旋轉π/2，縮放1/φ。用這個更小的黃金矩形重複這個構造，見圖2a。這種近似產生了一條相當接近實際黃金螺旋的曲線，如圖2b所示。
（a）用四分之一圓（黑色，前景）逼近黃金對數螺線（藍色，背景）
（b） 實際的黃金螺線（黑色，前景）和四分之一圓的近似（藍色，背景）
圖2：黃金螺線和透過四分之一圓的近似螺旋線的比較。差異在第一個和最大的四分之一圓附近最明顯。
每兩個相鄰的四分之一圓在其共同的端點都有相同方向的切線。所有四分之一圓的集合給出了一個黃金螺旋的近似，見圖2。黃金螺旋的極限點是第一個和第二個黃金矩形的對角線的交匯點。請注意，這些對角線對所有後續的小黃金矩形都是一樣的。當最初的黃金矩形平行於座標軸時，對角線的斜率是-1/φ和φ，所以第一和第二黃金矩形的對角線是互相垂直的。
用對角線構建
我們已經看到一系列巢狀的黃金矩形如何產生它們的對角線，從而產生一個共同的交點。然而，這種構造也可以反過來。也就是說，矩形的序列也可以從兩個對角線方向構建。
最初的設定包括兩條透過原點的垂直線——一條斜率為-s，一條斜率為1/s，斜率為-s的線上有一個任意的點p≠0。從這一點開始，我們畫一條平行於X軸的線段，朝向另一條線，直到相交，我們用一個新的點標記。這個新的交點又是一條新的、平行於y軸的線段的起點，請看圖3a，這是斜率為-2/3和3/2的兩條線的展示。
（a） 構建垂直線上的點
（b） 透過與之前的線連線來構建矩形
圖3：由兩條斜率為-2/3和3/2的垂直線構建
透過迭代這個過程，我們得到一個無窮序列的點在兩條線上交替。在每一步中，圖形都與上一步相似，旋轉π/2，縮放s。從第4個迭代步驟（即第4條線段）開始，我們將線段延伸到交點之外。這些線段在第一個遇到的先前繪製的線段上停止。因此，這個構造產生了一組巢狀的矩形，見圖3b。然而，這些矩形通常不是正方形，因此，我們不能簡單地在每個矩形上畫四分之一圓。
我們想構建一個四分之一圓的半徑，使下一個四分之一圓在它們的共同交點處有相同的切線，並按係數s縮放。因此，半徑必須與下一個半徑加上下一步剩餘矩形的高度相同。假設當前矩形的高度為b，我們得到：
從幾何上講，這個半徑R可以透過以下步驟由截距定理構造。首先，在第一個矩形的垂直切邊處構造一個點，高度sb高於下邊緣。這可以透過畫一個半徑為sb的四分之一圓來實現，圓的下界是垂直邊，如圖4a中標記1所示。第二步，構建透過該點與右上角（圖4a中標註2）的直線與下水平邊延伸的直線的交點。然後，透過將圓規設定為第二步構建的交點，可以圍繞垂直邊緣上的較低交點繪製半徑為四分之一的圓。
（a）構造半徑
（b）四分之一圓近似
圖4：從圖3b開始，用四分之一圓構建近似
鑑於這個過程，我們可以透過四分之一圓來構建任何a>0的對數螺旋的近似。注意，透過我們構造的映象，我們也可以用a
請注意，這個結構是對黃金螺旋的經典近似的概括。也就是說，對於s=1/φ，它產生了眾所周知的近似。與［4］中提出的程式類似，我們的構造也能產生無數不同的近似，見圖5的選擇。
圖5：不同對數螺線在不同斜率值下的近似。請注意，圖5e和5f中的螺旋分別順時針旋轉三分之一和二分之一。每個斜率對應的實際對數螺線在背景中以淺色給出，最明顯的是圖5a和5b中較小的斜率。
“更好的黃金螺旋”
Douglas McKenna在2018年提出了使用“更好的黃金矩形”，長寬比√φ，見［4］。圖6a展示了我們對“更好的黃金螺旋”的近似，它是由這樣的“更好的黃金矩形”構建的，按逆時針方向每圈φ^2縮放。
（a）用四分之一圓近似“更好的黃金對數螺線”
（b） 圖6a的重構為一個近似的黃金螺旋
圖6：由“更好的黃金矩形”構建的對數螺旋的近似，以及它對近似黃金螺旋的再引數化。右圖還包括一個旋轉了π的再引數化的副本。
這種結構在“更好的黃金螺旋”和黃金螺旋的近似之間產生了一種奇怪的聯絡。當我們將圖6a中的整個構造轉換為極座標，然後將角度引數壓縮1/2倍，並轉換回笛卡爾座標時，得到的構造只覆蓋了歐幾里得平面的一半，參見圖7f。
圖7：從近似的“展示更好的黃金螺旋”到近似的黃金螺旋的再引數化的。F點是重新引數化的一個焦點。在最後一張圖片中，角度引數被壓縮了1/2，因此所有的角度相對於F來說都減半了。
因此，為了保持螺旋的完整，我們不是簡單地沿著座標軸的某一部分切割影象，而是沿著圖3a中構建的連續線段序列切割，並在圖7a中以白色顯示。為了說明這種重構的效果，我們標記了一組點A。。。J，它們在圖7的父矩形中處於相同的相對位置，其中的點將是我們重構的一個焦點。當我們沿著圖7a的白色線段切割時，在我們的初始構造中，標記的點相對於中心的原點和位於0角的焦點F有如下角度：（E：-π/2；D：-π；C：-3π/2；B：-2π；A：-5π/2）。請注意，與常規的極座標不同，這些值可以小於-π或大於π，這是因為我們考慮到了螺旋的纏繞。用一個給定的係數來擠壓這些座標，會使它們的相對角度按選定的係數縮短。圖7b到7f中給出的圖片顯示了這種重新引數化的相應效果。透過擠壓角度引數，最初的白色線段序列逐漸開啟，最終成為一個相連的白色空間。最後，在圖7f中，所有的角度都已經減半。E：-π/4；D：-π/2；C：-3π/4；B：-π；A：-5π/4），例如，B點現在已經從與原點在同一直線上的火點移動到原點的相反位置，到了X軸的負數部分。
請注意圖7a中的初始構造是如何密鋪整個平面的，但是當我們壓縮1/2時，重新引數化的物件只覆蓋了平面的一半，見圖7f。除了保持螺旋完整，透過執行這個重新引數化近似的“更好的黃金螺旋”對映到一個近似的對數螺旋，以φ每1/2·1/2的比例，即每逆時針四分之一轉。因此，產生的物體是一個近似的黃金螺旋。
進一步注意，這種重新引數化不是共形的，即角度沒有被保留。因此，矩形的角不再是直角。這可以透過轉到複平面並將對映z→ √z視為共形的重新引數化來緩解。複雜地圖的其他藝術應用見［8］。然而，在我們的例子中，地圖需要像極座標重新引數化一樣進行修改，以保持螺旋的完整性。
白色的空間可以完全由產生的黃金螺旋的近似的副本來填補。該副本必須被旋轉，以完全適合白色空間。這導致了兩個相互交織的黃金螺旋的近似排列，如圖6b所示。
然而，在上面執行的步驟中，選擇1/2的壓縮因子是任意的選擇。事實上，我們可以使用任何1/n的壓縮因子進行重新引數化，n∈ N。這又會產生足夠的空白空間，以適合n-1個原始近似“更好的黃金螺旋”的重新引數化副本，前提是適當的旋轉。
對於我們的最終作品，我們選擇了n = 3。由此產生的三個交織的螺旋形被賦予了海洋調色盤的互補色彩。這些顏色和扭曲的矩形的形狀形似海馬的尾巴。調色盤還提到了鸚鵡螺的棲息地——不幸的是，鸚鵡螺只有一個，甚至不是黃金螺旋。在圖8中的圖案像“玩耍的海馬”。
圖8：“玩耍的海馬”，將圖6a中的幾何圖形轉化為近似的對數螺旋，按每1/2-1/3個圓的部分進行縮放。
參考文獻
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［8］ S。 Schleimer and H。 Segerman。 “Squares that Look Round： Transforming Spherical Images”。 Bridges Conference Proceedings， Jyväskylä， Finland， Aug。 9–13， 2016， pp。 15–24。 http：//archive。bridgesmathart。org/2016/bridges2016-15。html
［9］ Ulrich Reitebuch， Martin Skrodzki， Konrad Polthier， Approximating Logarithmic Spirals by Quarter Circles
最後照例放幾本扯犢子書目
青山不改，綠水長流，在下告退。