影響人類文明幾千年的“畢達哥拉斯學派”，到底是一個怎樣的組織？請看：
數學電影——《畢達哥拉斯》
1
從“證明幾何學”鼻祖泰勒斯說起
提及“畢達哥拉斯”，我們有必要追溯古希臘文明，瞭解泰勒斯。
據傳說，證明幾何學是米利都的泰勒斯開創的，畢達哥拉斯曾想拜他為師。
他是古希臘七賢之一，生活在公元前6世紀前半期，曾經用一根木棒測出胡夫金字塔的高度，轟動了古埃及。
幾何學中，下列基本成果也歸功於他：
圓被任一直徑二等分；
等腰三角形的兩底角相等；
兩條直線相交，對頂角相等；
兩角和一邊對應相等的兩個三角形全等；
內接於半圓的角必為直角。
泰勒斯的這些成果不僅在定理本身，更難能可貴的是——他提供了它們的某種
邏輯推理
。
例如“兩條直線相交，對頂角相等”：
∠1=∠2曾作為十分明顯的事實被考慮過，如果誰對這個結論表示懷疑，他們可以把一個角裁下來，疊置於另一個角上，讓他信服。
泰勒斯則採用邏輯推理的方法：
因為∠1+∠3是一個平角，
∠2+∠3也是一個平角；
所以∠1=∠2；
靠的是從更基本的關於平角的原理，開始演繹推理得出結論。
那麼，“為什麼所有平角都相等？”
“什麼是平角？”
……
人們不斷的質疑，作為源頭的最基本原理又是哪些呢？
從泰勒斯作出努力開始，古希臘人不斷的“刨根問底”。並從此出發，開始構建一個完整的幾何體系，這成為了古希臘數學家們孜孜以求的工作。
他們不再滿足於“知其然”，而是要
“知其所以然”
。
一個關於定義、公理、定理和證明的故事漸次展開！
熱衷於探討事物的本源，儼然成為了古希臘人的一種生活方式。
泰勒斯認為“萬物的本源是水”；
阿那克西曼德則認為“萬物的本源不是具有固定性質的東西”；
“人是由海魚演化而來”；
……
2
遊學20年的“苦行僧”——畢達哥拉斯
讓哲學成為生活方式！
這是古希臘文明的獨樹之處，與它獨特的地理和人文特徵密不可分。古希臘地處地中海東部，山脈和海洋把人們分散在遙遠的海岸上，各個城邦始終處於割據狀態；
當時的社會結構也相對簡單，人與人之間比較平等，戰爭時他們會歸於一個國王領導，而國王不過是某個貴族家庭的首領。
這使得古希臘鮮有強權，在這種民主和唯理的氛圍下，公元前572年左右，愛琴海上一座叫薩摩斯（Samoa）的小島，畢達哥拉斯出生於此。
島上盛行一種沒有嚴格教條的奧爾菲教，有共同話題的人們經常會聚在一起，探討著他們的信仰。
孩提時的畢達哥拉斯就是在這種氛圍下長大的，成年後，他離開了薩摩斯島，來到米利都城求學。
據說，他想追隨於泰勒斯的門下，泰勒斯以年事已高為由婉拒了他，讓他去找另一位哲人阿那克西曼德（歸謬法的創造者），同樣不受待見。
慢慢的，他發現自己融入不了米利都，這與他超然於世的冥想有關。
（畢達哥拉斯認為人分三等：最低層是做買賣的，其次是參加競技比賽的，最高層是旁觀者，也就是學者或哲學家。）
於是他離開了米利都，前往埃及求學，在那裡生活了近10年，學習埃及的數學、宗教、天文……
學成之後，畢達哥拉斯踏上了回鄉的歸程，不幸路上被入侵的波斯人擄去古巴比倫。
因禍得福的是，不僅幾何，精通算術的古巴比倫人對代數（文字敘述的代數學）也頗有研究，畢達哥拉斯在此又學習了5年，接觸了許多更為先進的數學。
期間，傳說他到過古印度，瞭解古印度的數學文化。
加上路上游歷花費的四五年，畢達哥拉斯外出遊學近達20年之久，此番艱險堪比取經18年、經歷九九八十一難的唐玄奘。
一個集古希臘、古埃及、古巴比倫甚至古印度文化的大成者，終於回到故鄉薩摩斯。
而此時，波斯人暴政下的薩摩斯已經無法容納思想如此先進的畢達哥拉斯，於是他不得不再度漂洋過海，來到義大利的克羅內託。在那裡，他傳經佈道，廣收弟子，從而建立了影響世界數千年的“畢達哥拉斯學派”。
3
數乃神的語言——畢達哥拉斯學派
在遊歷過程中，畢達哥拉斯接觸過各地的神秘組織，他所建立的“畢達哥拉斯學派”也是一個類似宗教的秘密團體，正五角星是他們的徽標。
學派研究涉及哲學、學術、宗教等各個領域。“
哲學（philosophy）
”和“
數學（mathematics）
”這兩個詞可能是畢達哥拉斯創造的。
“哲學”希臘語為Φιλοσοφ α，意指“愛，智慧”；“數學”希臘語μθημα，意指“可以學到的知識”。
尤其數學，學派把屬於會計師和調查員們的應用技術，
轉化成了一門純粹的科學
，畢達哥拉斯使數學變成一門高尚的藝術！
學派在數學上的成就主要包括以下幾個方面：
證明了“畢達哥拉斯定理”
也就是勾股定理（公元前11世紀，商高見周公時提及“勾三股四弦五”，故我們稱之為“勾股定理”，它是人類第一次將數與形結合在一起的重大發現）。
據說一次教派晚宴，主角畢達哥拉斯趁著大家觥籌交錯之際，溜到一旁，盯著牆角的方形拼磚，靈感迸發，用面積法證明了直角三角形三邊的關係。
（西方學者認為，畢達哥拉斯第一個證明了該定理，故稱之為“畢達哥拉斯定理”。也有傳說他為此殺了100頭牛表示慶祝，從學派素食主義的觀點上看，這一說法未必可信！）
特殊數和陣列
如完全數，即等於它真因子之和的數。
例如6的真因子為1、2、3，1+2+3=6；常被用於占卜的完全數是28，當時人們認為月亮繞地球一週為28天，而28=1+2+4+7+14，這樣的發現帶來了許多的神秘色彩。
（完全數迄今為止只發現了49個，並且都是偶數，至於能不能找到奇數的完全數，或者奇完全數就不存在，至今沒人解決。）
又如親和數220和284：
220的真因子之和：
1+2+4+5+10+20+22+44+55+110=284；
284的真因子之和：
1+2+4+71+142=220；
他們認為這兩個數充滿著愛情的味道，兩者彼此“含情脈脈”！
數與陣列的研究還有三角數（1， 3， 6， 10……）、正方形數（1， 4， 9， 16……）、五邊形數（1， 5， 12， 22……）、畢氏三數（勾股數）等；誠然，學派是數論發展的先驅。
正多面體
據柏拉圖記載，在五種正多面體中，學派成員蒂邁歐將4種容易作出正多面體——正四面體、正八面體、正二十面體和正六面體，與火、氣、水、土神秘的聯絡起來，至於難作的正十二面體，將它與包羅永珍的宇宙聯絡在一起，後來亞里士多德稱之為“以太”（除了水、火、氣、土之外，還有一種居於天空之上的以太）。
發現無理數
信徒希帕索斯發現單位正方形對角線長根號2，不是有理數，引發了“第一次數學危機”。
（甚至有學者認為“黃金分割”也是畢達哥拉斯學派發現的，有它們的正五角星徽標為證。這可能是一種臆測，因為，“第一次數學危機”因學派後來發現不可公度的無理數根號2而起，有悖於無理數“黃金比值”的提前知曉，也許，學派選擇正五角星為徽標，是出於圖形美的直覺。）
不僅如此，在畢達哥拉斯看來，最能淨化人們心靈的，一定是音樂。
他發現二絃琴兩條琴絃的音程之比越簡單，和音越和諧，2：1對應八度音，3：2對應五度音，4：3對應四度音，9：8對應二度音。反之，當比例太複雜時，聽上去就很刺耳。
音樂上的發現，和諧概念的提出，直接引發了畢達哥拉斯學派的核心理念——
萬物皆數
（世界的本源是數）。
事實上，與畢達哥拉斯同時代的佛陀、老子也有類似觀點。
如《道德經》所云：道生一，一生二，二生三，三生萬物。表示“道”生萬物，事物的變遷是一個從少到多，從簡單到複雜的一個過程。這是老子對伏曦八卦和《易經》的總結，太極生兩儀，謂陰陽。與畢達哥拉斯學派認為奇數是陽性的，偶數是陰性的，頗有異曲同工之感，許多學者困惑於古代東方數學如何較大程度的影響了古希臘數學，這也許是個線索。
學派對數有這樣的認識：1是萬數之源，代表緣由、本元和穩定；2則反之，代表不同與未知，它代表陰性；3是1與2的和，代表和諧與完美，為陽性；4代表正義，是人與自然的紐帶；5是2與3的和，謂之陰陽調和、連理相偕；6代表強力非凡，是2與3的積，引起新生命的誕生；最膜拜的數是10……
他們相信數字本身是活的，與人的意識有著心靈感應，只需透過各種形式的沉思冥想，人們就可以與數進行心靈交流。
畢達哥拉斯認為，
數乃神的語言，一旦掌握了數的結構，就控制了世界，世界的許多事物都是匆匆過客，唯有數是永恆的。
4
學派的湮滅
把學術的認知上升為一種信仰，畢達哥拉斯學派一度信徒雲集。
學派主張一夫一妻，知識和財產是公有的（從這個角度看，許多關於畢達哥拉斯的發現，可能並非畢達哥拉斯本人，而是學派的共同發現，加上畢達哥拉斯的講課全是口授的，更難以考證了）。
信徒們有著共同的生活方式，素食主義是成員們必須遵守的，禁食豆子（因為他們認為，豆子的外形與人類的某個器官相似，吃豆子的行為與同類相食沒有區別，對於素食主義者是不合適的）……有學者甚至認為“共產主義”也在此萌芽。
然而，學派的危機也正在於此——萬物皆數！
他們把數侷限在有理數範疇，也就是能夠表示成分數形式的數（整數比）。而信徒希帕索斯發現的根號2就無法用分數形式表示。
希帕索斯對於“根號2不是有理數”，推理方法可能是阿那克西曼德創造的
歸謬法
，大致過程是這樣的：
根號2客觀存在，但在學派已有的認知下，卻無法準確描述（不可公度），面對這一“荒謬”現象，大家都無計可施。
信仰的基石被顛覆了！
這是萬萬不可的，畢達哥拉斯學派誓死要捍衛他們的“真理和信仰”。傳說年輕的數學家希帕索斯因公開了這一秘密，而被拋進了大海。
但也有學者提出：希帕索斯被扔進地中海的傳說未必可信。
因為他們發現，畢達哥拉斯學派是一個充滿愛心的組織。傳說學派成員客死他鄉，臨死前他告訴旅店店主，只要在店門口掛上刻有五角星的徽標，便有人來幫助償還住店和看病的債務。不久，果然一位學派的信徒路過此店還請了債務。
神秘的五角星代表的不僅僅是智慧，還有健康、友愛，這樣的組織應該不會去殺害希帕索斯，更有可能的是，將他“逐出師門”。
伴隨著影響的日益擴大，他們的存在直接威脅著統治階級的利益，學派的湮滅也從此開始。至公元前500年前後，南義大利民主力量逼迫學派解散，畢達哥拉斯以及他的信徒慘遭殺害，儘管虔誠的信徒們還延續著學派200多年，但往日的輝煌不再。
無理數的發現而導致的“第一次數學危機”，引發了數學的大發展，古希臘人慢慢明白：“直覺和經驗不一定靠得住，推理證明才是最可靠的”。
為公理化體系完善，曠世鉅著《幾何原本》的誕生（成書於公元前300年前後），奠定了堅實的基礎。
“神秘教主”畢達哥拉斯的故事，似乎在告訴人們：在數學的世界裡，無理即未知，未知即未來！
—— END ——
關於泰勒斯、畢達哥拉斯以及畢達哥拉斯學派，史上至今鮮有直接證據，文章及影片提及的許多觀點也值得進一步推敲，特把完成此文的主要參考文獻列舉如下：
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［2］量子學派。公式之美［M］。北京大學出版社，2020：32-40。
［3］汪曉勤。HPM：數學史與數學教育［M］。科學出版社，2017：69。
［4］［美］克利福德·皮寇弗。數學之書［M］。重慶大學出版社，2015：14。
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［6］［英］Tony Crilly。你不可不知的50個數學知識［M］。人民郵電出版社，2010：38-39。
［7］蔡天新。數學簡史［M］。中信出版集團，2017：34-38。
［8］［英］布賴恩·克萊格。數學世界的探奇之旅［M］。中信出版集團，2017：36-39。
編輯：Norma