今天，我們來玩一個遊戲。玩這個遊戲需要一個無限行無限列的表格，以及三枚硬幣。三枚硬幣放在表格的左上角。就像下面圖中表示的那樣。
遊戲只有一種操作。你可以拿掉任何一枚硬幣，但是需要馬上在這枚硬幣的右邊和下邊的格子裡補上兩枚硬幣。比如，如果你拿掉了上方第二個硬幣，你需要按下圖中的方式，馬上補上兩枚。
再補充一個規則吧。只有一枚硬幣右邊和下邊的格子全都是空格子的時候，你可以拿掉硬幣，並補上兩枚。哪怕有一個格子不是空的，這枚硬幣都不能拿掉。你就只能拿別的按規則可以拿掉的硬幣。
我們把左上方2×2的格子圈出來，把它叫做銀行，如下圖紅框部分。
你會直觀地感受到，整個遊戲過程中，硬幣逐漸增多，總體是向右下方流動的。
我們的問題是，你有什麼策略，可以讓銀行中的硬幣全部流出銀行。就是說左上2×2的格子中，不再有任何一枚硬幣。或者，你會覺得總會有硬幣留在銀行中，但你需要清晰精準地說明這一點。
這個問題其實有點難的， 你可以做做實驗，多想一會兒。待會兒我們解謎的時候，你會感受到數學的神奇。（在一串長空格後，我們開始解密）
解密開始：
在具體說明這個問題之前，你可能做了很多次實驗了。是不是開始懷疑，如果嚴格按照遊戲規則，是不可能把銀行清空的。
對的！如果你有這個想法，那恭喜你，這就是這個問題的正確答案。那麼，剩下的事情就是嚴謹地證明你的猜想。
證明的方法也許不唯一，這裡講述一個本人認為非常巧妙的一個辦法。
我們的證明過程會去設計一個不變數，利用這個不變數來說明按照遊戲規則，我們無法搬空銀行。不變數是一個數學概念，簡單的說，它表達的是無論局面如何變化，那些在萬變之中永遠不變的東西。不變數的思想幾乎貫穿數學這門學科的所有分支，甚至有觀點認為，數學本身就是研究各種不變數的學科。
為了說明問題，我們做一些準備工作。我們用如下的方式給每個格子標記一個數。
標記的規則是這樣的：
第一排，從左邊第一個開始分別標記1，1/2，1/4，。。。，總之右邊的那個數是之前數的一半。
第二排，從左邊第一個開始分別標記1/2，1/4，1/8，。。。，就是起始的數是上一排的一半，但總是保證右邊的那個數是之前數的一半。
第三排，繼續1/4，1/8，1/16，。。。
以此類推……
表格標記完後，你會發現，你任意取一個格子和它右邊以及下邊相鄰格子標記的數都是這個格子的一半。
準備工作完畢，我們來設計我們的不變量了。
首先，我們來看看，所有格子的數加起來會等於多少。這裡有無窮個數求和，我們的策略是先求出每一行的和，再把這些和加起來。
第一行就是，1 + 1/2 + 1/4 + 。。。 ，結果是2 ；
第二行，1/2 + 1/4 + 1/8 + 。。。 ， 結果是 1 ；
第三行，1/4 + 1/8 + 1/16。。。 ， 結果是 1/2 ；
……
最後再來 2 + 1 + 1/2 + 。。。 ， 加起來等於4 。
就是說所有數字加起來的和是4。
我們再來看看規則。每次操作，我們都會把原本的硬幣去掉，並在右側和下側新增上兩枚新的硬幣。雖然，表格中的硬幣會增加一個，但是替換上的硬幣覆蓋格子中標記數的總和與之前那枚硬幣覆蓋標記數是相等的。這意味著，無論多少此操作，所有硬幣覆蓋格子中標記數的總和不變。
那麼，按照初始的三個硬幣擺放的位置。三枚硬幣覆蓋的標記數之和是1 + 1/2 + 1/2 = 2。銀行中，標記數之和是2 + 1/4 = 9/4。要把所有硬幣在銀行內清空，意味著銀行內沒有硬幣，所有硬幣都在銀行外。根據之前的分析，就是說要達到一種狀態，銀行外硬幣覆蓋的標記數之和保持初始的2不變。但是，銀行外標記數之和為 4 - 9/4 = 7/4 ，比2小。
所以不能清空銀行。
另外，實際上透過之前的討論，你可以證明：哪怕把硬幣完全清理出初始的三個位置，都是不可能的。因為，剩餘的標記數之和是2，需要無限個硬幣才能達到。而有限次操作，最多生成有限枚貨幣。
好玩的數學知識和遊戲又增加了！
本文編譯自Alex Bellos於2019年10月7日發表於英國《衛報》網站的文章
編譯：Math001
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原標題：有趣的搬空銀行遊戲：一個巧妙的展示不變數思想的好案例
編輯：Garrett