如果將傳統流體力學形容為一個江湖，N-S方程無疑是這個江湖最偉大的傳說，只可惜這本“曠世秘籍”沒有人能解開。於是流體江湖的三位大佬——雷諾、布辛涅司克和普朗特各自使出了自創的神功“雷諾平均的N-S方程”、“渦粘性假設”以及“混合長度理論”，將無法求解的N-S方程劈開了一個口子，從而開啟了計算流體力學百年的RANS時代。
而近三十年來，尤其是進入新世紀以後，一種基於LBM的CFD方法慢慢走入大眾的視野，無論是思想、方程還是實際操作過程都和傳統CFD完全不同，甚至有傳統CFD大佬直呼“It’s a magic”。隨著LBM在工業領域的大放異彩，人們開始關注LBM的歷史和今天。相對於N-S方程，LBM更像是流體力學的另一個江湖。
01
LBM中的L才是源頭？
LBM（Lattice-Boltzmann Method）中文譯為“格子玻爾茲曼方法”，自然以玻爾茲曼輸運方程和麥克斯韋-玻爾茲曼分佈為根基，不過在這個名字中，
首當其衝的“格子”二字，才是LBM幾十年發展的源頭
。
而要問“格子”到底是從哪裡來的，則必須從
LBM的前世老祖——元胞自動機
（cellular automata，縮寫為CA）說起。
自動機，顧名思義就是自己可以動的機器，比如魯班造的木鳶、孔明先生的木牛流馬（手動狗頭）。從計算理論上來說，自動機指的是一種抽象的自行式計算裝置，自動遵循預定的操作順序。
而元胞自動機指的是有一組規則的元胞（或格子），每個元胞都有某些狀態（比如白或黑），當分配好初始的狀態和演變規則後，
下一個時刻元胞的狀態由前一時刻的狀態和周圍元胞的狀態確定，類似於我們玩過的貪吃蛇遊戲
。
元胞自動機天然是一種時空離散的計算模型，
其概念最早由斯坦尼斯拉夫·烏拉姆（Stanislaw Ulam）和馮·諾依曼（Von Neumann）於1940年代提出。
他們當時在美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室工作，後來許多LBM領域的先驅也曾研學於此。
02
當格子遇見流體力學
元胞自動機的概念催生了一些應用，比如細胞生長、沙丘堆積、城市發展的預測等等，其特點是使用微觀粒子的時空積疊來描述宏觀現象。
而在流體力學領域，最初的應用典範便是格子氣自動機（Lattice Gas Automaton，縮寫為LGA）。
格子氣自動機使用布林變量表示流體粒子在空間格子上的存在與否。
在格子氣自動機中，流體粒子存在於這些格子上，並嚴格按照格線遷移或者碰撞。
這些粒子的演化只與自身狀態和相鄰粒子相關，因此可以方便的進行分割槽計算。
而
粒子的有無
僅用0和1便可表述，不存在迭代的收斂問題。這與傳統求解流體問題的思路大相徑庭而又容易理解，
當時這種方法風靡一時，甚至被譽為劃時代的方法而登上了華盛頓郵報的頭版
，如同一入江湖便風頭無限的少俠。
1972年，法國學者J。 Hardy，Y。 Pomeau和O。de Pazzis提出了第一個LGA模型，即HPP模型；1986年，U。 Frisch，Y。 Pomeau和美國學者B。 Hasslacher提出了
一個對稱度更高的正六邊形的LGA模型，即FHP模型，該模型成功的恢復了不可壓縮N-S方程。
而在Physical Review的125週年紀念專刊上，這篇文獻也成為唯一入選的流體類文章。
少俠的出場雖然霸道，可是想要成為大俠尚需時日。隨著方法的深入研究，人們發現LGA也有其天生的缺陷。
對於湍流問題，LGA由於自由度（速度方向的數目）太低難以精確描述；而布林運算又在區域性帶來了明顯的數值噪聲
；
更重要的是，通用計算機已朝著浮點運算的方向迅猛發展，
只進行布林運算則效率很低
，人們不得不專門研製硬體。
03
LBM的雛形
為了應對LGA的種種缺陷，1988年McNamara和Zanetti從分子混沌的假設（忽略分子之間的相關性）出發，
把LGA中的布林運算替換成實數運算，粒子不再是0或者1，而演化為大神玻爾茲曼的分佈函式f
，並用玻爾茲曼輸運方程代替了LGA的演化方程，叩開了格子波爾茲曼方法的大門。
1989年，Higuera和Jimenez又引入平衡態分佈函式feq簡化了碰撞運算元
。
隨後，LBM的發展迎來了華人之光。1991年，陳十一、陳滬東以及J。M。V。A。 Koelman等學者分別獨立提出了基於BGK單鬆弛模型將碰撞運算元線性化的思路，即以控制趨近平衡態快慢的方式簡化碰撞運算元；而後，錢躍竑和陳滬東等學者又分別基於不同形式的格子和BGK模型，並使用麥克斯韋-玻爾茲曼分佈來代替平衡態函式
f
eq
，並恢復了N-S方程。從此以後LBM開啟了從少俠走向大俠的武學探索之路。
值得一提的是，
上述方法源自於1954年Bhatnagar、Gross和Krook為簡化玻爾茲曼輸運方程而提出的碰撞間隔理論，又被稱為格子BGK模型（即LBGK）
。
看來想要成為一代武學大師，還是需要旁徵博引，啥武功都要會一點。
04
從LBM到流體力學
相對於LGA，LBM有兩個巨大的優勢：
■ 在方程左側利用統計函式消除數值噪聲
■ 在方程右側使用碰撞運算元的連續函式代替離散的碰撞規則
於是，LBM在速度分佈函式和LBGK的加持下，就如同武林高手打通了任督二脈一樣，展現了巨大的優勢和潛力。
在LBM方法中，速度分佈函式f依賴於位置與時間，
因此在傳統力學（物理量是位置和時間的函式）框架下，f依然是個連續的量——這也是它在宏觀框架下亦能代表流體運動的基本依據。
同樣，由於f同時包含了位置、速度、時間的資訊，而壓力、密度等宏觀變數通常只與位置和時間相關，因此如果對微觀速度
進行積分而移除其依賴性
，即可得出各類宏觀變數。
如下圖所示，如果對分佈函式、粒子質量及微觀速度等的組合進行統計，則可得出宏觀的密度、動量和能量。
壓力是粒子動量的體現，而溫度被粒子動能表徵，宏觀速度則最直接，它是微觀速度的期望
——這些引數都可由移除微觀速度依賴性的積分得出。
LBM表面上看還是離散的方程，卻有連續的屬性
——因此它一定程度上也具有尤拉以及N-S方程求解器的特質，相比LGA更為貼近於傳統理解的流體力學。
對於被LBGK所代替的碰撞項，也具有豐富的內涵——人們雖然不再糾結於粒子之間的相互作用力與碰撞方式，而是把它簡化為剛性碰撞，但即便是剛性碰撞，也需要複雜的積分才能完成，
而LBGK完成了碰撞運算元的線性化
。
另外，LBGK描述了原始碰撞的零階物理過程，這也意味著，
如果想使用LBM求解複雜本構關係的物質，只需要修改碰撞項即可
。
05
從LBM到CFD
從LBM到流體力學，彷彿郭少俠南下中原之後，跟隨洪七公學習降龍十八掌。理論上降龍十八掌是天下第一剛猛的武功，可是郭少俠使出來效果如何，那就要去真正的江湖上試一試了。
LBM從理論上搭建了微觀速度分佈函式和宏觀物理量之間的關係，那麼LBM究竟如何在計算流體力學的領域施展自己的抱負呢？
相對於傳統CFD的求解過程，
基於LBM的CFD可謂是大道至簡，用盡全身的力氣打出去這一掌就可以了
。
如上圖所示，
LBM的實施流程為
：
首先對全部格子的流場進行初始化，然後施加粒子的輸運和邊界條件算出中間過程的分佈函式f*，而後求出密度和宏觀速度，再計算此狀態下的平衡態函式，最後施加粒子的碰撞，得出更新的速度分佈函式f，此後就是迴圈迭代，直至計算結束。
LBM憑藉著其獨特的技術優勢在學術界和工程領域得到越來越多的關注。不過，也總給人感覺有點“根不正，苗不紅”，正如大漠的人們都以為郭靖是個落難的孩童，卻不瞭解郭靖乃是梁山好漢的後代。
接下來我們就從統計物理出發重新推導LBM，為其正名。
06
LBM江湖的上古大神
19世紀中期，
氣體動理論的主要奠基人
克勞修斯（Clausius）、麥克斯韋（Maxwell）和玻爾茲曼（Boltzmann）三人引進了統計概念，將宏觀理論和微觀基礎聯絡了起來
。
1902年，Gibbs（吉布斯）把Maxwell和Boltzmann所創立的統計方法發展為系綜理論（Ensemble Theory），使原來僅適用於氣體的理論，推廣到氣體、液體和固體，並發展為今天的統計力學。
玻爾茲曼輸運方程（Boltzmann Transport Equation，簡稱BTE或BE）誕生於1872年，而LBM則於1990年代左右由LGA發展而來，
不過LBM誕生之初時，並沒有跟連續的玻爾茲曼方程建立關聯
。
後來人們逐漸認識到此問題的重要性——即
從統計物理的角度重新審視並構造LBM。
如下圖所示，針對玻爾茲曼輸運方程，
首先使用BGK模型將碰撞運算元線性化
，然後在指定座標系下進行時空離散得出LBGK方程，
最終對平衡態函式進行泰勒展開並略去高階項，即可得出LBM的控制方程以及各項引數
。
透過上述的推導，可以發現LBM是簡化玻爾茲曼方程的一種特殊離散形式。由此，LBM終於找到了自己名正言順的身份，
有了各位上古大神的坐鎮，加上近幾十年來，華人科學家的巨大貢獻，LBM也終於開宗立派，建立了屬於自己的江湖
。
結語
LBM方法從最初的低雷諾數、不可壓縮流動的計算，歷經日復一日的修煉升級，多年以後儼然自成體系，形成了另一個江湖。不過相比於公認的“曠世秘籍”N-S方程，人們對LBM能否反映真實的流體世界一直心存懷疑。本公眾號將在後續推送更多的文章，揭示LBM闖蕩流體江湖的心路歷程，敬請期待。
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