1905年，愛因斯坦正式提出了狹義相對論；1908年，閔可夫斯基給出了狹義相對論的幾何表述，也就是我們這裡說的閔氏幾何。愛因斯坦一開始對這套幾何語言很反感，認為這些純數學上的“花架子”沒什麼用，還增加了相對論的複雜度。但是，他很快就發現閔氏幾何非常重要，發現這絕不是什麼純數學技巧，而是有著深刻物理內涵的洞見。而且，如果要建立廣義相對論，少了它根本不行。
幾何語言清晰直觀，在處理許多問題時有很大的優勢，這在雙生子佯謬裡體現得非常明顯：使用代數語言，使用洛倫茲變換去處理雙生子佯謬，其中難度之大思維之繞，絕對是對智商極大的考驗；而使用幾何語言，這個問題就簡單得不像是個問題。然而，目前絕大部分介紹相對論的書籍文章還是使用的代數語言，所以你還是能經常看到許多人在一些非常簡單的問題上糾纏不清，爭論不休。
梁燦彬老師說他上世紀80年代從“言必稱幾何”的芝加哥大學回來以後，就一直在國內大力推廣相對論的幾何語言，但是不明白為啥過了三十多年大眾對它還是很排斥。我就在這篇文章裡跟大家好好聊一聊，希望能夠解開大家跟閔氏幾何之間的心結。
因為這是從零開始的一篇文章，所以我暫時就只談相對論裡最簡單的幾何語言，也就是狹義相對論裡的閔氏幾何。至於廣義相對論裡涉及的黎曼幾何，我們後面再說。
01為什麼很多人覺得幾何語言難？
瞭解相對論的人大多知道一點閔氏幾何，知道我們可以透過畫時空圖的方式來解決一些很複雜的問題，但是他會覺得閔氏幾何很難：把時空圖畫出來很難，畫出來之後去解釋時空圖更難。當看到別人對著時空圖“輕而易舉”地把問題解決了，他心裡沒底。他無法理解為什麼你說時空圖裡的這個代表了相對論的裡的那個，為什麼你對時空圖裡的一些點、線、面做這樣的處理就對應著相對論裡的那個問題。所以，他覺得你在時空圖裡做的那些幾何操作非常“虛”，他不理解這些幾何背後的實質，自然會覺得很難。
然而，這不該是幾何該給我們留下的印象啊。我們平常接觸的幾何，一個點、一條線、一個正方形、一個圓，這些都是我們日常生活裡一些形狀的完美投射，它們非常的實在，一點都不虛。很多在代數上不好理解的東西，我們把它畫到幾何圖形上一下子就理解了。幾何原本就應該比代數更加簡單直觀，但是為什麼到了相對論這裡，大家反而覺得幾何語言更加難以接受了呢？原因就是狹義相對論裡使用的幾何並不是我們熟知的歐式幾何，而是一種全新的閔氏幾何，當我們把歐式幾何裡的一些習慣和常識代入進來的時候，自然會引起各種水土不服。
所以，這裡我們先不談閔氏幾何和歐式幾何的具體區別，我們先來看看狹義相對論是怎麼和閔氏幾何對上眼了的。為什麼狹義相對論不用歐式幾何來描述，而非得使用一個我們不熟悉的閔氏幾何呢？這個問題不清楚，講再多閔氏幾何的性質也是白搭。
02兩個基本假設
為什麼狹義相對論要使用我們不熟悉的閔氏幾何，原因當然還是得從自身來找。大家都知道狹義相對論有兩條基本假設：相對性原理和光速不變。從這兩個假設出發我們可以很自然的推匯出狹義相對論裡各種奇奇怪怪的結論，這裡我們先來審查一下這兩個假設。
相對性原理說物理定律在所有的慣性參考系裡都是平等的，不存在一個特殊的慣性系。這一點很自然，伽利略很早就發現這點了，他意識到一個人在一個勻速移動（慣性系）的密閉船艙里根本無法區分這艘船到底是靜止的還是以某個速度勻速運動。無法區分的意思就是這兩個參考系（靜止和勻速運動）是平等平權的，否則，你就應該有辦法把它們區分開。
不同的是：伽利略只敢給力學定律打包票，他只敢說我們無法用力學實驗區分兩個慣性系，其他定律（比如電磁學實驗）能不能區分慣性系他就不敢說了。愛因斯坦說你不敢打包票我來，我打賭所有的物理定律（力學的也好，電磁學或者其他的也好）都無法區分慣性系，你在船艙裡做什麼實驗都也無法區分這艘船是靜止的還是勻速運動的。
從這裡我們可以感覺到，相對性原理好像並沒有那麼反常識，它只是把伽利略的那套相對性原理的適用範圍給擴大了。那麼，狹義相對論裡那麼多結論的“詭異”似乎就應該來自另外一個假設，也就是光速不變。
光速不變說真空中的光速在所有的慣性系裡都是一樣的。不論你在哪個慣性系（注意一定要是慣性系，非慣性系裡光速就沒人管它了）裡測量光速，在靜止的地面也好，飛速的火車飛船裡測也好，測得的光速都是一個定值c。
這就太反常識了，怎麼能夠在不同的參考系裡測量同一個物體的速度都相同呢？比如，在一輛速度為300km/h的高鐵上，有一個人以5km/h的速度朝車頭走去。那麼，高鐵上的人會覺得他的速度是5km/h，而地面的人會覺得他的速度是300+5=305km/h，這兩個速度肯定是不一樣的。但是，如果我把這個人換成一束光，讓這束光射向車頭，光速不變就是說不管你是在高鐵上測量，還是在地面上測量，這束光的速度都是c。你以為在地面上測量的光速應該是c+300km/h麼？對不起，並不是這樣。
你覺得這個事詭異麼？詭異！為什麼會這樣呢？不知道，光速不變是狹義相對論的一個基本假設，這個類似數學裡的公理，我們只能假設它是對的，但是卻無法證明它是對的，它的可靠性由實驗保證。其實，這個事情很多人還是知道的，但是，大多數人並不知道如果我們再深挖一下光速不變原理的秘密，我們就能找到一條通向閔氏幾何的隱秘通道。
03光速不變的秘密
光速不變說你在任何慣性系中測量光速，得到的結果都是c，我們來定量的分析一下這個原理。
假設我們在K系裡測量一束光，假設這束光在Δt的時間內走了Δl的距離，那麼顯然就有Δl=Δt×c。如果我們把這束光在x，y，z三個座標軸方向移動距離的分量記為Δx，Δy，Δz，那麼根據勾股定理就有：Δl =Δx +Δy +Δz ，再把這兩個式子合起來就能得到：Δx +Δy +Δz -（Δt×c） =0。如果這時候我們用一個新的量Δs 表示左邊的東西，那麼就有Δs =Δx +Δy +Δz -（Δt×c） =0。
好，事情發展到這裡，一切都非常容易理解，上面的事情倒騰來倒騰去就是一束光在空間裡走了一段距離，然後套用了小學生都知道的距離等於速度乘以時間而已。而且，大家也會發現這個事跟光速不變也沒有什麼關係，你就是把上面的光換成一顆子彈，把光速c換成子彈的速度，那麼上面的一切推理都還是那樣的。沒錯，因為光速不變說的是光速在不同的慣性系裡都一樣，那麼我們還得再考察一個慣性系。
還是上面那束光，我們這次在另一個參考系K’裡對它進行測量。假設我們測量的結果是它在Δt’的時間內走了Δl’，我們同樣對這個距離做一個分解，假設它在x，y，z三個座標軸方向移動距離的分量記為Δx’，Δy’，Δz’。根據光速不變原理，光在這個參考系裡的速度還是c，那麼，按照上面的邏輯，我們依然可以得到Δs’ =Δx’ +Δy’ +Δz’ -（Δt’×c） =0。
當我們把K和K’這兩個參考系了的結果拿來對比的時候，光速不變原理帶來的反常效應就出現了：大家有沒有發現Δs和Δs’的表示式的形式完全一致，而且值還相等（都等於0）？
我們只是把K系裡測量的時間和距離全都換成了K’系裡測量的時間和距離，其它的東西我們一概沒動。而在牛頓力學裡，Δs和Δs’的表示式形式是不一樣的，因為牛頓力學裡另一個慣性系的測量速度會加上兩個參考系之間的相對速度。也就是說在牛頓體系裡，在K’系裡測量的光速應該是c加上兩個參考系的相對速度，這樣Δs’的形式就Δs跟不完全一樣了，而相對論是用光速不變強制保證了它們的形式一致。
這一點大家好好想一想，它並不難理解，但是卻是後面的關鍵。我們現在等於說是定義了一個Δs，對於光來說，這個Δs的值在不同的參考系裡是相等的，剛好都是0。
那麼，重點來了：如果我把這個Δs從光推廣到所有物體，我仍然從兩個不同的慣性系K和K’去測量這個物體在空間上運動的距離Δx、Δy、Δz和時間上經過的間隔Δt，然後一樣把它們組合成Δs和Δs’。那麼，這個物體的Δs和Δs’之間有沒有什麼關係呢？它們是不是還跟光的Δs和Δs’一樣相等並且都等於0呢？
是否等於0很好回答，一看就知道肯定不等於0。假設博爾特1秒鐘跑10米，那麼Δt=1、Δx=10，不考慮另外兩個維度（Δy=Δz=0），看看Δs 的表示式：Δs =Δx +Δy +Δz -（Δt×c） =100+0+0-（1×3×10^8） ，這顯然是個非常大的負數。那麼問題的關鍵就落在在慣性系K和K’裡測量的這兩個值Δs和Δs’是否相等，也就是說，如果博爾特在跑步，我們從地面和火車上測量得到的 Δs和Δs’是否相等？
這個答案我直接告訴大家：一樣！
這個證明過程其實也非常簡單，這不就是同一個事件看它在不同的慣性系裡是否滿足某個式子麼？同一個事件在不同慣性系下變換關係，在相對論裡這不就是洛倫茲變換的內容麼？所以，你直接用洛倫茲變換去套一下Δs和Δs’，你很簡單就能發現它們是相等的，這裡我就不做具體計算了，當作課後習題。
所以，我們透過分析就得到了這樣一個結論：在相對論裡，不同慣性系裡測量一個物體的位移、時間等資訊可能不一樣，但是它們組合起來的Δs =Δx +Δy +Δz -（Δt×c） 確是相等的，而這個值對光來說還剛好就是0。
注意了，這個結論極其重要，正是它決定了為什麼我們要使用閔氏幾何來描述狹義相對論，甚至，從某種角度來說，它幾乎包含了閔氏幾何裡的全部奧秘。為了讓大家更好地瞭解這個結論背後的意義，我們先去看一看歐式幾何裡的類似情況。
04歐式幾何不變數
在歐式幾何裡也有一些量是不隨座標系的變化而變化的，比如最簡單的線段的長度。
在二維的歐式幾何裡，我們假設在一個直角座標系裡有兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），令Δx=x2-x1，Δy=y2-y1，那麼，利用勾股定理就能非常容易的算出AB之間的距離Δl =Δx +Δy 。這時候我們如果在建一個新的直角座標系，在這個新的座標系裡原來A、B兩點的座標變成了A（x1’，y1’）、B（x2’，y2’），同樣令Δx’=x2’-x1’，Δy’=y2’-y1’，AB之間新的距離Δl’ =Δx’ +Δy’ 。這時候我們可以很輕鬆的驗證Δl=Δl’，也就是說Δx +Δy =Δx’ +Δy’ 。
這個結論一點都不奇怪，我們都可以很直觀的感覺到，為什麼呢？因為歐式幾何就是我們日常熟悉的空間啊，我們現在就假設有一跟2米長的尺子AB，我在一個直角座標系裡計算它的長度的平方Δl =Δx +Δy =2 =4，難不成我在另一個座標系裡算得它的長度的平方Δl’ =Δx’ +Δy’ 還能不等於4麼？我這把尺子的長度是一定的，如果我在不同座標系下得到尺子的長度卻不一樣了，那還了得，那這幾何就有問題了。
因此，在歐式幾何裡，Δl =Δx +Δy 也是一個座標系不變數，這個值不隨你取座標系的變化而變化。很顯然的，如果把歐式空間從二維推廣到三維，那麼這個不變數自然就可以寫成Δl =Δx +Δy +Δz ；推廣到四維，我們用t表示第四個維度，那麼Δl =Δx +Δy +Δz +Δt ，再往上推廣幾維，我就加幾個分量就行了。
大家肯定注意到了：在歐式幾何裡，不隨座標系變化的是Δl =Δx +Δy +Δz +Δt ，而我們上面在講狹義相對論的時候，不隨慣性系變化的量Δs =Δx +Δy +Δz -（Δt×c） 。這兩者非常的相似，這個光速c是個常數，可以不用考慮，為了方便計算我們甚至可以直接約定c=1，這樣的話Δl 和Δs 的差別就僅僅只差一個Δt前面的負號而已。
那麼，這種形式上的相似和那個負號的差別到底意味著什麼呢？畢竟它們一個代表的是不隨慣性系的變化而變化的量（Δs ），一個代表的是歐式幾何裡不隨座標系的變化而變化的量（Δl ），一個是物理量，一個是幾何量，好像並沒有直接的關係。但是，我們這樣想想：如果我想用一種幾何來描述狹義相對論裡Δs =Δx +Δy +Δz -（Δt×c） 不隨慣性系的變化而變化的這種性質，我們肯定就不能選歐式幾何了（因為歐式幾何裡不隨座標系變化的量是Δl =Δx +Δy +Δz +Δt ）。所以我們需要一種新的幾何，在這種新幾何裡，不隨座標系變換而變化的量是類似Δs 這樣帶有一個負號的量，這種全新的幾何自然就是閔氏幾何。
你這時候心裡可能有點疑惑：我們真的可以只憑借不隨參考系變化的量是Δs 和Δl ，就斷定這是兩種不同的幾何麼？Δs 和Δl 這些東西到底意味著什麼？或者說，到底是什麼決定了一種幾何？
05線元決定幾何
我們從小就在學習歐式幾何，我們學習直線、三角形、圓等很多幾何圖形，我們關心它們的各種性質，比如兩點的距離、曲線的長度、兩條線的夾角、一個圖形的面積。但是，大家有沒有想過：在歐式幾何的各種各樣的性質裡，有沒有哪個是最基本的？也就是說，我們能不能只定義這個最基本的量，其他的各種量都可以從這個量裡衍生出來？這樣的話，我們就只需要抓住這一個最基本量的性質，就可以抓住這種幾何的性質了。
答案是：有，這個最基本的量就是弧長，準確地說是組成任意曲線、弧線的基本元段長。
要把這個說清楚，我們這裡得稍微引入一丟丟微積分的思想，別慌，這個很容易理解的~在歐式幾何裡，我們很容易求一根線段的長度（直角座標系裡利用勾股定理就行了），但是，如果要你求一條任意曲線的長度呢？
比如上圖的曲線AB，這是隨手畫的很一般的一條曲線，不是什麼特殊的圓弧，你要怎麼求它的長度呢？數學家們是這麼考慮的：我在曲線AB之間取一些點，比如P1、P2、P3，然後這三個點就把這段圓弧的分成了四個部分。我們用線段把這幾個點連起來，這樣我們就得到了一條折線，這時候我們就用折線的長度（也就是這四條線段的和AP1+P1P2+P2P3+P3B）來近似代替曲線AB的長度。當然，你肯定會說，曲線的長度明顯比這四條線段加起來更長啊，你怎麼能用折線的長度來代替曲線呢？
是的，如果你只在AB之間取三個點，那麼曲線AB的長度肯定要比折線的長度多很多，這樣近似的誤差很大。但是，如果我再多取一些點呢？我在AB之間取十個、一百個甚至一千一萬個點，那麼，這成千上萬條線段組成的折線的總長度跟曲線AB比呢？當然，還是會短一些，但是，你可以想象，這時候這些折線已經跟曲線AB非常接近了。如果一根1米長的曲線被你分成了1萬條線段，這時候你用肉眼根本分辨不出來這是原來的曲線還是折線。但是你內心還是知道折線要短一些，那麼接下來就是重點了：如果我在曲線AB之間放無窮多個點呢？
無窮是一個很迷人，同時也很迷惑人的詞彙。從上面的分析我們知道：當我們在曲線AB裡放越多的點，這些小線段連起來的折線就越接近曲線AB本身。那麼，當我們放了無窮多個點的時候，這無窮多個線段組成的折線是不是就應該等於曲線AB的長度了？答案是肯定的，而這，就是微積分最樸素也是最核心的思想。
在這種思想的指導下，我們要求任意曲線的距離，最終還是要求小線段的距離，因為無窮多個小線段累加起來的長度就是曲線的長度。因此，我們只要知道如何求無窮小的線段的長度，我們就能用微積分的思想求出任意曲線的長度，我們把這個最基本小線段稱為曲線的一個元段長，記做dl。
在歐式幾何裡，我們把基本元段dl在座標系裡分解一下，用dx和dy表示dl在x軸和y軸上的分量，那麼根據勾股定理就有dl =dx +dy ，我們就把dl 稱之為線元。
提煉出了線元這個概念以後，我們就可以開始反推了。在任何一種幾何裡，如果我們確定了線元，就等於知道了元段dl的長度，然後就可以利用上面微積分的思想求任意一段曲線的長度。那麼，接下來，我們會發現幾何裡的其他性質都可以按照這些定義。比如，我們就可以把兩點之間的距離定義為這兩點之間所有可能的曲線裡最短的一條，把兩條直線的夾角定義為弧長和半徑的比值（想象在一個圓裡，半徑固定，弧長越大角度越大），其他什麼面積、體積之類的幾何性質就都可以根據這些基本性質來定義。
最後，你會發現只要給定了一個線元，我們就能把它所有的幾何性質都確定下來，也就是說：線元決定幾何。
那麼，什麼是歐式幾何呢？歐式幾何就是由歐式線元（dl =dx +dy ）決定的幾何。非歐幾何呢？只要你的線元不是歐式線元，那麼這個線元決定的幾何就是非歐幾何。用這種新線元，我們一樣可以定義出在這種新幾何裡的曲線長度、兩點的距離、線的夾角等等幾何性質。
那麼，閔氏幾何是什麼？閔氏幾何的線元又是什麼呢？
答：很顯然，閔氏幾何就是由閔氏線元決定的幾何。閔氏線元是這樣的ds =-dt +dx +dy +dz ，如果只考慮二維閔氏幾何的話，那麼ds =-dt +dx 。
閔氏線元（ds =-dt +dx ）跟歐式線元（dl =dx +dy ）十分相像，它們之間唯一的差別就在於閔氏線元的第一個分量dt 的前面是負號，而歐式線元全部都是正號。也因為如此，閔氏幾何跟歐式幾何也非常像，所以閔氏幾何還有一個稱呼，叫偽歐幾何。但是，我們也要特別注意這個負號，正是這個負號，決定了閔氏幾何和我們熟悉的歐式幾何裡所有不一樣的地方，而這些不一樣，恰恰是我們透過閔氏幾何來理解狹義相對論的關鍵。
06閔氏幾何與狹義相對論
我們現在知道了，所謂的閔氏幾何，不過是由閔氏線元ds =-dt +dx +dy +dz 決定的幾何。在這種幾何裡面，曲線的長度、兩點的距離、線的夾角等一切性質都有這個第一項帶了一個負號的閔氏線元決定。
看看這個閔氏線元ds =-dt +dx +dy +dz ，再看看我們最開始提到的那個在狹義相對論裡不隨慣性系的變化而變化的量Δs =Δx +Δy +Δz -（Δt×c） ，是不是非常像？在相對論裡有兩種單位制：國際單位制和幾何單位制。國際單位制就是我們平常熟悉的那一套單位制，幾何單位制就是選擇光速c=1，這樣可以大大簡化在用幾何處理相對論問題的難度。採用幾何單位制的話，不隨慣性系變化的Δs =Δx +Δy +Δz -Δt ，這就真的跟閔氏線元ds =-dt +dx +dy +dz 一模一樣了。
這就是為什麼我們要用閔氏幾何，而不是歐式幾何來描述狹義相對論的根本原因。
在牛頓的世界裡，時間是絕對的，三維的空間也是絕對的，一根木棒在三維空間裡隨便怎麼變換，隨便怎麼變換參考系，它在三維空間裡的長度是一定的，這個是跟三維的歐式線元對應的（因為三維的歐式線元dt +dx +dy 也不隨座標系的變化而變化）。
但是，在狹義相對論裡，空間不再是絕對的，不再是一成不變的，我們熟悉的尺縮效應不就是說從不同的慣性系裡觀測同一把尺子，這個尺子的長度是不一樣的麼？這就是說空間上的“長度”在狹義相對論的不同慣性系裡不再是不變數。但是，我們發現如果把時間也考慮進來，把三維空間和一維時間一起組合成四維時空，那麼這個四維時空裡的間隔Δs =Δx +Δy +Δz -Δt 就是不隨慣性系的變化而變化的量（這個在前面說過，用洛倫茲變換可以非常方便的證明）。
所以，在牛頓的世界裡，三維空間是絕對的，他必須保證同一把尺子在不同的三維空間的座標系里長度是一樣的，也就是說在度量三維空間裡長度的方式（這個有個更專業的概念叫度規，這裡我們知道就行）必須跟座標系無關，而歐式幾何正好有這樣的特性，所以牛頓力學的背景是歐式幾何。
而在狹義相對論裡，三維空間並不是絕對的，三維空間裡一把尺子的長度在不同慣性系裡是不一樣的。但是，三維空間和一維時間組成的四維時空是絕對的。四維時空裡如果也有這樣一把“尺子”，那麼這把“尺子”無論從哪個慣性系來看，它的四維“長度”都是一樣的。而狹義相對論的這種四維“長度”，或者說我們在四維時空裡度量長度的方式，它跟閔氏線元表示式的形式是一樣的。也就是說只有在閔氏幾何裡，狹義相對論的時空間隔才對應於他們幾何裡的“長度”的概念，所以我們要使用閔氏幾何來描述狹義相對論。
理解這一段非常的重要，因為只有理解了這個，你才能從根本上把閔氏幾何和狹義相對論對應起來。有很多閔氏幾何的科普文章裡上來就是直接給你畫時空圖，然後告訴你閔氏幾何裡的這種圖形這個幾何性質對應著狹義相對論裡的這種概念，這樣很多人就感覺難以接受，然後對幾何語言產生牴觸的心理。
好，既然我們打算用閔氏幾何來描述狹義相對論，那麼肯定就要把狹義相對論裡的物理語言翻譯成閔氏幾何裡的幾何語言。幾何肯定是離不開畫圖的，在歐式幾何裡我們經常會畫出一個幾何圖形在空間上的樣子，這是空間圖。而狹義相對論把時間和空間看作一個整體， 它要求我們以同等的地位來看待時間和空間，所以我們需要畫出一個事件同時在時間和空間裡的樣子，這種圖就叫時空圖。
07時空圖
在時空圖裡，你能非常自然地感覺到時間和空間被統一起來了，因為時空圖裡的時間軸和空間軸有著完全的平等的地位。
在時空圖裡，一個粒子現在在哪，你找到它的空間座標（x，y，z），記下現在的時間t，那麼你就得到了它的時空資訊（x，y，z，t），那這個時空資訊就對應時空圖裡的一個點，這就叫時空點。
同樣的，你再記下它下一個時刻t1的位置（x1，y1，z1），那麼它又對應了座標系的另一個點（x1，y1，z1，t1）。所以，一個粒子在任一時刻的時間、空間資訊就都對應了時空圖裡的一個點。那麼，如果考察這個粒子的全部歷史，你就可以得到一系列的這種時空點，這些點在時空圖裡就會形成一條線，這條能代表粒子全部歷史的線就叫粒子的世界線。
現實生活裡一個粒子有四個維度（三維空間+一維時間），那麼對應的座標軸應該也是四維的，但是我們在二維平面裡勉強可以畫出三維圖形，對四維圖形實在無能為力。為了方便起見，我們假設粒子只沿x軸方向運動，這樣我們就可以不考慮y軸和z軸的情況，從而把四維的問題簡化為二維，然後我們就可以很愉快的在一張二維的紙上畫這二維時空圖了。
我們先建立一個座標系，橫軸x代表粒子的空間資訊，縱軸t代表粒子的時間資訊。為了再次簡化問題，我們採用幾何單位制，也就是取光速c=1，然後我們再來看一些具體問題。
問題1：一個靜止不動的粒子在時空圖裡是什麼樣的？或者說它的世界線是什麼樣的？
這個答案很容易想到，一個粒子靜止不動，就是在空間上沒動，那麼它的x座標一直為零，但是時間依然在流逝，也就是粒子的時間座標在一直變大。所以，靜止不動的粒子是世界線是一條跟t軸重合，垂直於x軸的直線。
問題2：一個勻速向右運動的粒子的世界線是什麼樣的？
這個也不難想象，一個勻速向右運動的粒子，它在時間軸不停往上走的同時，空間軸上也在不停地往右走，那麼這個粒子的世界線應該是一條斜直線。問題是，斜多少？是所有的座標空間它都可以斜，還是有什麼限制？這個問題我們先放著，先看看第三個問題。
問題3：一條朝右上方45°的斜直線（如下圖的L1）代表了什麼粒子的世界線？
我們先來算一算這個粒子的速度：我們在粒子的世界線L1上取兩個點，也就是假設粒子在t1時刻在位置x1，在t2時刻在位置x2。因為這條直線是45°的，所以很顯然x2-x1=t2-t1，。那麼粒子的速度v=（x2-x1）/（t2-t1）=1。
速度等於1是什麼意思？我們在畫圖的時候採用的是幾何單位制，也就是取光速c=1（如果我們不採用幾何單位制，那麼豎軸的單位就不是t，而是ct，本質並沒有什麼不同）。現在這個粒子的速度等於1，其實就是代表這個粒子的速度是光速，速度是光速那自然就是光子了，那麼這條45°斜直線就代表了光子的世界線。
從這裡我們可以看到，在時空圖裡，光子的世界線是45°的斜直線。我們也知道在相對論裡任何有質量粒子的速度都是小於光速的，那麼一個有質量的粒子做勻速直線運動的世界線該是一條什麼樣的斜直線呢？是在區域1還是區域2？
我們可以這樣想一下：如果粒子的速度比光速小，那麼假設粒子在t1時刻在x1處，那麼到了t2時刻它肯定到不了x2地方，那麼這兩點的連線肯定就在L1的上方，也就是區域1。其實我們也可以想一個極端的粒子，假設這個粒子在原點不動，那麼粒子的世界線就是跟t軸重合，粒子速度到達光速就是45°的那條直線，那麼速度在靜止和光速之間的粒子世界線自然就是在區域1的斜直線了。
現在我們知道了這樣一個結論：在時空圖裡，45°的斜直線代表了光子的世界線（如L1），比光子世界線更陡，更加靠近t軸的斜直線（如L2）是有質量粒子勻速直線運動，或者說慣性運動（速度小於光速）的世界線。
有了這樣的基本認識，我們來用幾何語言分析一下狹義相對論裡入門教材裡必定會碰到的問題：火車閃光問題。這個問題之所以重要，是因為它揭示了同時的相對性，也就是說在一個慣性系看來是同時發生的事件，在另一個參考系裡不一定是同時發生的。愛因斯坦敏銳地發現了這點，然後藉此從看似牢不可破的牛頓力學裡撕開了一道口子。
08同時的相對性
在牛頓力學裡，時間是絕對的，所以同時必然也是一個絕對的詞彙。在一個參考系看來是同時發生的事件，不管誰來看都絕對是同時發生的，這也是一個非常符合常識的論述。
但是，愛因斯坦用一個簡單的火車實驗就讓人們的這個信念坍塌了，這個實驗是這樣的：假設地面上有一輛勻速運動的火車，在某一個時刻，地面上的觀察者發現這個火車的車頭和車尾同時被閃電擊中。也就是說，對於地面參考系而言，閃電擊中車頭和車尾這兩個事件是同時發生的。但是，愛因斯坦認為在火車參考系裡，這兩個事件就不是同時發生的。
原因也很簡單，我們假設在閃電擊中火車頭尾的時候，在地面這兩點的中點有一個觀察者。因為兩個事件在地面系看起來是同時發生的，所以，站在地面中間的那個觀察者肯定會同時看到車頭和車尾發過來的閃光，所以這兩個事件是同時的。
但是，站在火車中間的觀察者就不是這樣了，因為車頭車尾的閃光在向中間傳播的時候，火車本身也在前進，所以火車中間的人就會先看到車頭髮過來的閃光，後看到車尾發過來的閃光。所以，火車上的觀察者就會覺得這閃電擊中車頭和車尾這兩個事件不是同時發生的，而是擊中車頭的先，擊中車尾的後。
愛因斯坦從這個火車閃光實驗出發，發現了同時的相對性，進而打開了狹義相對論的大門。這個實驗比較簡單，整個邏輯過程也不復雜，但是這樣講不夠直觀，不夠具有普遍性。因為很多人會把這個實驗當做一個特例來處理，也就是隻有當他們意識到要講同時的相對性的時候才會想起這個實驗，平常就會把這個實驗帶來的同時的相對性給忘了，然後帶來一系列的“相對論詭異疑難”。下面我們從幾何語言來看看這個問題，看看如何讓這個重要問題更直觀，更具有普遍性。
我們假設閃電同時擊中車頭車尾（從地面系觀測）的時候，火車的車尾M’、車頭N’剛好經過地面的M和N點，P點為地面MN的中點，P’為火車上的中點，我們來看看怎麼在時空圖上描述這個閃電擊中火車的問題。
我們先來看看地面上M和N點的世界線，因為M、N在地面上沒有動，所以M和N點的世界線都是一條沿著時間軸t豎直向上的直線（空間位置沒動，只有時間t在動）。同樣的，在MN中間的P點也沒動，它的世界線也是一條豎直向上的直線。這三條線好畫，那麼在火車上的M’、N’和P’，它們都在做勻速直線運動，那它們的世界線是什麼樣的呢？這個我們上一節剛好說了，做勻速運動的粒子的世界線是一條比45°線更陡的斜直線。那我們把這六個點的世界線都畫出來，不難理解應該就是下面這樣（橫軸為空間x，縱軸為時間t，這裡省略了）。
下面是關鍵的了，怎麼畫車頭、車尾的閃光向中點傳播的過程？我們知道，閃電擊中車頭車尾之後，這個事件就會向四面八方發射光訊號（所以四面八方的人都能看到火車被閃電擊中了），但是，其他的訊號我們都不關心，我們只關心被地面中點P和火車中點P’所接收到的那一束光訊號。那麼，這個光訊號要怎麼畫呢？它們的出發點肯定在m和n，那接下來呢？這次我們再次想起了上一節中提到的：光子的世界線是45°的斜直線。那麼我們就加上這兩條45°的世界線，最後的圖就是下面這樣的。
這兩根世界線跟兩個中點P、P’的世界線產生了三個交點A、B、C，這是三個很有意思的點，我們來分析一下它們的物理含義。
首先是A點，A點是閃光世界線跟地面中點P點的世界線交點，它們相交了是什麼意思？縱軸代表時間，橫軸代表空間，相交了就代表這兩個粒子此時時間和空間資訊都一樣，都一樣那就是相遇了啊，具體到我們這個問題就是閃光傳播到了地面上的中點。因為地面沒有動，M和N點到P點的距離又是一樣的，那麼車頭車尾的閃光肯定同時到達地面中點，所以它們都相交於A點是正確的。
再來看B點和C點。B點是車尾的閃光的世界線和火車裡面的中點P’世界線的交點，那B點代表的意思自然就是火車中間的觀察者觀察到車尾的閃光這個事件。同理，C點是車頭閃光世界線跟P’世界線的交點，那C點就是火車中間的觀察者觀察到車頭閃光的這個事件。這樣看就非常明顯了，縱座標是時間軸，那麼B事件明顯就是在C事件之後發生的啊。
這正是同時的相對性的表現：對於地面系，它們都交於A點，所以是同時的；對於火車系，它們分別交於B點C點，所以是不同時的，這在時空圖裡極為直觀。
這裡有一個事要強調一下：我們在這個火車閃光問題裡雖然涉及到了地面系和火車系，但是我們是一直在地面系來分析問題的。我們畫的時空圖，不管是地面上的點還是火車上的點，我們都是在地面系畫，因為畢竟一張圖只有一個座標系嘛。那麼，我們能不能在一張圖裡同時把地面系和火車系兩個慣性系都畫上呢？
答案當然是可以的。
09兩個座標系
我們來具體看看這個問題：假設我們現在已經畫了一個地面系的直角座標系x-t，那麼我們要如何把火車系的座標系x’-t’畫出來？
第一次遇到這個問題的同學可能有點懵，不著急我們一步步來，我們先看看火車系的縱軸t’要怎麼畫。要畫火車系的縱軸，我們先想想一個座標系的縱軸的是什麼意思？我們知道如果我們讓一個點的橫座標為零，那麼這個點的軌跡就是跟縱軸重合的。還記得我們上面說的靜止粒子的世界線麼？靜止粒子的空間座標x為0，所以它的世界線就是垂直於x軸，與t軸重合的一條直線。那麼，火車系的t’軸自然也是在火車系裡靜止在原點處粒子的世界線。
這一點很重要，大家好好理解一下，也就是說我們只要把火車系處於原點處粒子的世界線畫出來，我們就能得到火車系的t’軸。那麼，一個在火車系靜止的點，在地面系看來它是在做勻速直線運動，而勻速直線運動的點的世界線，我們上面也說了，就是一條比45°更陡的斜直線。所以，火車系的t’軸就是這樣一條更陡的斜直線，如下圖所示：
火車系的t’軸畫好了，那火車系的x’軸呢？大家可以看到我在圖上用虛線畫了一根與t’垂直的軸，並且特意標明瞭“錯誤的x’軸”。為什麼要這樣標呢？因為這是相對論初學者極容易犯的錯誤。我們已經習慣了歐式幾何，歐式幾何裡直角座標系都是相互垂直的，所以到了這裡很多人看到我們已經畫出了t’軸，就立馬條件反射地畫一根和t’軸垂直的當做x’軸，但是這是錯誤的，為什麼呢？
這裡我們第一次感受到了閔氏幾何的異樣。我在最開始花了那麼大的篇幅告訴大家為什麼狹義相對論要使用閔氏幾何，我們也知道了閔氏幾何的線元跟歐式幾何不一樣（時間項前面多了一個負號），所以，我們在畫時空圖處理狹義相對論問題的時候，一定要意識到自己雖然是在歐式平面裡畫圖，但是我們畫的是閔氏幾何裡的圖形。
有人可能會有點疑問，我們前面不是已經用時空圖解決了同時的相對性問題麼？我們不是已經把愛因斯坦火車閃光問題用時空圖畫出來了麼，我沒感覺啥異樣啊？那只是因為那個問題比較簡單：它只有一個座標系，而且也不涉及到線長相關的問題，所以我即便在一個歐式直角座標系裡把它畫出來了，它也暫時沒什麼衝突。如果我們生活在一個閔氏空間裡，那麼我們畫出的閔氏直角座標系肯定都是相互垂直的，但是我們生活在歐式空間裡，我已經用一個歐式空間裡的直角座標系畫了一個閔氏座標系，那麼另一個就肯定不可能再是垂直的了。
這裡的邏輯有點繞，大家可以細細品味，搞得不是很懂也不要緊，我接下來會把另一個座標系畫出來，大家能看懂再回去看上面的一段話就明白了。
好，回到正題，我們再來看看火車系正確的x’軸該怎麼畫。我們再來整體回顧一下這個事情：我們現在是已經畫好了地面系x-t，要畫火車系x’-t’，火車系和地面系它有沒有什麼關係呢？有啊，洛倫茲變換說的不就是地面系和火車系的關係麼？什麼是洛倫茲變換？比如我在地面系觀測到了一個粒子的位置和速度，現在我想知道它在火車系裡是什麼情況，我並不需要重新再到火車系裡測量一遍這個粒子的位置和速度，我只需要根據洛倫茲變換就可以直接得到火車系裡那個粒子的運動情況。所以，洛倫茲變換就是兩個慣性系之間的聯絡，我只要知道了一個慣性系裡粒子的運動情況，立馬我就可以知道其他慣性系裡粒子運動的情況。
所以，我們可以根據洛倫茲變換來找到兩個慣性系之間的聯絡。我現在不是根據地面系的座標軸來找火車系的座標軸麼？我們對著洛倫茲變換改就是了。洛倫茲變換是下面這樣的：
其中，x，y，z，t代表地面系裡觀測到的，x’，y’，z’，t’是火車系裡觀測到的。v是火車系相對地面系的速度，火車的速度一旦給定了，這個v就是一個定值，c是光速，所以右邊的γ都是一個常數。如果我們再根據幾何單位制來，取c=1，那麼洛倫茲變換就可以簡化成下面的樣子：
因為我們只考慮火車系相對地面系在x軸方向上的運動，所以在y和z方向上還跟原來一樣，我們可以不考慮。我們現在畫圖也是來畫x-t圖，所以我們重點關注這兩個式子：
這是什麼呢？這不就是火車系了的x’和t’麼？我現在要畫的就是x’的座標軸，也就是火車系的空間座標軸，那怎麼找到這個座標軸呢？這個我們前面也提過：縱座標的那條線就是橫座標為0的所有點的集合，反過來也是，橫座標就是縱座標為0的點的集合。所以，我們令火車系的時間等於0，也就是縱座標t’=0就能找到橫座標x’軸了。
那我們令t’=γ（t-vx）=0，因為γ是一個不為零的常數，所以就只有t-vx=0了，也就是t=vx。
這在x-t座標系裡就是一條過原點的直線，斜率為火車的速度v（斜率就是這條直線的傾斜程度，你可以理解為一個坡越陡斜率越大。當直線與橫軸重合的時候，斜率為0；當直線跟橫軸成45°的時候，斜率為1；當直線跟縱軸重合的時候，斜率為無窮大）。因為我們這裡是幾何單位制，光速為1，在狹義相對論裡任何有質量的物體它的運動速度都是小於光速的，所以火車的速度v肯定是小於1的，也就是說這條直線的斜率比45°的直線（剛好是光的世界線）小。
再者，我們可以用同樣的方法令x’=γ（x-vt）=0，就能得到火車系的縱軸是這樣一條直線：t=x/v。它的斜率是1/v，因為v小於1，所以1/v是個大於1的數，所以這條斜直線的斜率比45°要大（我們前面畫的也正是這樣）。這裡我給一個初中數學的結論：斜率互為倒數（比如v和1/v）的兩條直線它們是關於y=x，也就是45°的直線對稱的。所以，我們的x’軸是跟t’軸關於45°的直線對稱的。這樣我們就能精確地把它畫出來了，如下圖：
第一次看到這樣一個座標系的同學可能會感覺非常彆扭，為什麼火車系x’-t’的座標系不是正交的，不是一個直角呢？我們得這樣看：它們是正交的，只不過它們是在閔氏幾何里正交，我們現在強行把它畫在歐式幾何裡，那麼肯定就看起來不正交了。
還有同學也會有疑惑，你不是說狹義相對論裡慣性系都是平權的麼？那麼為什麼這裡把地面系畫成直角的，而把火車系畫成了一個小於直角的座標系？我要是人就在火車裡，我非要把火車系畫成直角的，不行麼？行，當然行。你可以按照上面的思路把火車系畫成直角的基準系，再反推過去畫地面系，最終的兩個圖雖然形狀不一樣，但是實質上還是等價的。
理解這個雙座標系非常關鍵，它第一次向我們展示了閔氏幾何不一樣的地方。有了它，我們就可以很方便的處理不同慣性系裡的一些事情，比如，我們喜聞樂見的尺縮效應。
10尺縮效應
尺縮效應是狹義相對論裡比較有趣的一個效應，它簡單說來就是一句話：運動的物體長度會收縮，也就是動尺收縮。但是這樣描述會讓許多初學者心生疑惑，你動尺收縮是真的收縮了還是隻是看起來收縮了？這是一種觀測效應還是一種由於光速有限造成的傳播誤差？你相對尺子沒動，覺得尺子沒縮，我覺得縮了，那麼它到底縮了沒有（這是個很常見的錯誤的問題）？
其實，用非幾何語言初學相對論的人不可避免地會遇到很多類似這樣的問題。因為大家在牛頓的那一套環境裡浸潤久了，想一下子把思維切換過來很麻煩。而且學相對論的人最容易載到“相對”兩個字裡來，該相對的東西不相對，不該相對的東西又跑去相對，最後把自己繞進去了。但是用幾何語言卻沒有這樣的煩惱，因為有很多物理量在3維的時候是相對的，在4維裡就都是絕對的了。而且，幾何圖形清晰直白，會大大降低這類問題的難度和迷惑性。
好，現在我們來看看怎麼用幾何語言處理尺縮效應。
一個粒子的世界線是一條線，而一把尺子是由許多粒子組成的，所以一把尺子在時空圖裡留下的軌跡就應該是一個面，我們稱之為尺子的世介面。我們還是以地面係為基準系，假設尺子相對地面系靜止，那麼尺子每個粒子的世界線都是一條平行於t軸的線，合起來它的世介面應該是一個有一定寬度的面。上一節我們已經學會了如何把運動的慣性系也畫出來，我們再把相對尺子運動的參考系x’-t’（假設為火車系）畫出來，總的時空圖就是這樣：
如上圖所示，陰影部分就是在地面系靜止的尺子的世介面，它跟x軸的交點為a，跟x’軸的交點為b。那麼我們很容易就能知道oa就是尺子在靜止地面系的長度，ob就是尺子在運動的火車系x’-t’的長度。
為什麼呢？你想想oa代表什麼意思？oa就是當地面系的時間為零的時候尺子在空間x軸的投影，那這顯然就是尺子的長度了。那麼，同樣的道理，因為運動的火車系的座標是x’-t’，ob也是當t’都為0的時候尺子在x’軸的投影，所以ob就是運動的火車系測得的尺子長度。
所以，尺縮效應就變成了比較oa和ob的長度。很顯然，oa和ob的長度肯定不一樣，那麼到底是oa長還是ob長呢？
沒錯，你的眼睛沒有看錯，我就是在問到底是oa長還是ob長？可能這個時候你的腦袋是懵的，明明oab組成了一個直角三角形，ob是斜邊，斜邊肯定比直角邊更長啊，這是初中生都知道的，ob比oa長難道還有什麼疑問麼？
沒錯，擱在歐式幾何裡，斜邊大於直角邊這絕對毫無疑問。但是，我們始終要記住我們處理狹義相對論問題用的是閔氏幾何（否則也不會出現x’-t’這樣看起來不正交的座標系），那閔氏幾何裡要怎麼樣比較兩條線段的長短呢？
這個時候你可能意識到了：我們在閔氏幾何裡連怎麼定義線段的長度都不知道，更別提比較兩條線段的長短了。那麼，閔氏幾何裡一條線段的長度是怎麼定義，怎麼計算的呢？
11閔氏幾何的線長
在討論怎麼定義，計算閔氏幾何一條線段的線長之前，許多人可能對為什麼這個問題會是一個問題都心存疑惑：線段的長度不就是用尺子去量一下線段麼，為什麼還需要什麼定義？即便我不用尺子去量，一條線段我在直角座標系裡把它投影到x和y軸，假設它在x軸和y軸的投影長度分別是Δx和Δy，那麼我就可以利用勾股定理很簡單的算出這條線段的長度L =Δx +Δy 。
但是，我還是得再強調一次：你能這樣做，是因為你已經假設了你是在歐式幾何裡。只有在歐式幾何裡，一條線段的長度才可以這樣用勾股定理去計算，但是狹義相對論的幾何背景是閔氏幾何。為了讓大家能更直觀的瞭解，我們先不談閔氏幾何，我們就來看看球面幾何。
球面幾何顧名思義就是在在一個球面上的幾何。你可以想象在一個籃球的表面，或者地球的表面上有兩個點，那麼，這兩個點之間的距離應該是一段圓弧長，而不再是歐式幾何裡的直線。你想想，在這種情況下，你還能用勾股定理去計算這兩點之間的距離麼？你要硬用勾股定理去計算，那麼算出來的是這兩點之間的直線距離，並非在球面上的圓弧長，這顯然是不對的。就好比你在地球表面計算北京到深圳的距離，你用勾股定理算出來的距離是在北京地底下打一個直線隧道通到深圳的距離，這顯然不是你在地球表面從北京直線開車去深圳的距離。
從這裡我們能直觀地感覺到：在不同的幾何裡，長度的計算方式是不一樣，每一種幾何都有自己度量長度的規則（這就是度規），一旦這種規則確定了，這種幾何也就確定了。其實，這一點我在「線元決定幾何」這一節裡已經說得非常明確了，不光是線長，所有的幾何性質都是由線元決定的，不同的幾何擁有不同的線元，自然就擁有不同的計算線長的方式。
二維歐式幾何的線元是dl =dx +dy ，二維閔氏幾何的線元是ds =-dt +dx 。二維歐式幾何裡線段長度的計算公式是這樣的：
那麼，二維閔氏幾何裡線段長度的計算公式自然就是這樣的：
因為閔氏幾何的線元的時間項前面有個負號，所以，為了避免根號裡面的值出現負數從而讓式子無意義，我們套了一個絕對值（它保證所有值都是非負的，比如-5的絕對值為5，記做|-5|=5）的符號。
也就是說，我們在閔氏幾何裡是根據這個式子來計算一條線段的長度的，Δt和Δx分別代表這條線在t軸和x軸的投影。這個式子跟歐式幾何的距離計算公式很類似，唯一的不同還是時間項前面的那個負號。也正因為這個負號，閔氏幾何裡的線長問題才會變得更我們平常想的不一樣。為了讓大家熟悉一下這種新的線長計算方式，我先來舉個簡單的例子。
問題4：大家還記得光子的世界線是一條45°的斜直線把，我們現在隨便在光子的世界線裡取A、B兩點，那麼線段OA、OB的長度分別是多少呢？如下圖所示：
我們先來看看OA的長度，因為這條直線是45°，所以A點在x軸和t軸上投影得到的距離就是一樣長的，也就是Δt和Δx的大小是一樣的。但是，閔氏幾何裡線段長度的計算公式是它們兩個相減再開根號，現在這兩個值是相等的，那麼相減的結果不就是0了麼？再開根號結果自然還是0。
也就是說，OA在閔氏幾何裡的長度為0。
你沒有看錯，它的長度就是0。OA你看著有這麼長的一段，但是它在閔氏幾何裡的長度卻是0，這就是那個負號帶來的效果。同樣的，你可以接著去算OB的長度，或者直接算AB的長度，你會發現它的長度一樣全部都是0。
所以，我們有這樣的結論：光子的世界線長度恆為0。這很反直覺吧？我們再來看個例子。
問題5：還是上面的圖，我過B點做一條垂直於t軸的線，然後隨便在BC之間取一條點D。那麼OC就是靜止不動的粒子的世界線，OD就是一條勻速直線運動的粒子的世界線，OB是光子的世界線，那麼它們三個的長短怎麼比呢？
乍一看，好像的OB>OD>OC。但是我們剛剛算過了光子世界線OB的長度為0；OC是靜止不動的粒子的世界線，那麼它在空間上的位移Δx就為0，那麼OC的長度就是粒子在時間軸裡走的長度；OD在時間軸上的投影跟OC一樣，但是它的Δx不等於0，那麼它們相減（-Δt +Δx ）之後的數值肯定就變小了，那麼OD是小於OC的。於是，我們得到的結論確實跟之前的感覺截然相反的，三者的長度是OC>OD>OB=0。
所以，當我們在說時空圖了某一條曲線的長度的時候，我們都要意識到我們是用閔氏幾何那把尺子（時間項前面有負號）來度量曲線的長度，這跟我們平常生活裡感受的（歐式幾何度量長度）是不一樣的。一開始大家會覺得這種方式非常不習慣，但是一旦習慣了就會覺得這個非常自然。
好了，這裡我們介紹了閔氏幾何裡線長的定義和計算方法，理論上我們就可以計算任意一條線段的長度了，也能比較兩條線誰長誰短了。我們上一節不就是最後把尺縮效應歸結比較兩條線段oa和ob的線長麼？那現在可以直接比了啊。
我們看到ob在x軸的投影跟oa是一樣長的，但是oa在t軸的投影為0，ob在t軸的投影卻大於零。但是，根據閔氏幾何的線長公式，線長是這個線段在時間軸t和空間軸x投影長度平方相減再開根號。既然兩條線段oa和ob在空間軸x上的投影都一樣，那麼在時間軸t上投影長度越大的，相減之後得到的值就越小，那麼最後的線長就越小。
所以，我們能直接就這樣感覺到，在閔氏幾何下，ob是比oa更短的。而ob代表的是運動參考系下尺子的長度，oa是靜止參考系下尺子的長度，既然ob比oa更短，那麼就是說在運動參考系裡尺子的長度更短，這就是我們常說的尺縮效應。
這裡我們是直接用線長的計算公式算出oa和ob的長度然後再來做比較，雖然算出來了，但是可能不是很直觀。在許多教材和文章裡都會提到另外一種看起來更直觀的比較方式，那就是使用校準曲線，很多人也經常看到這個但是不是很明白，我這裡就一起再講一下。
12校準曲線
校準曲線其實是回答了這樣一個問題：閔氏幾何裡，到原點距離相等的點組成的軌跡是什麼？
老規矩，我們先看看歐式幾何的情況。在歐式幾何裡，到原點距離相等（比如說都等於2）的點組成的軌跡是什麼呢？這個我們都知道，這就是一個圓，到定點的距離等於定長的點的集合就是圓，這個點就是圓心，這個定長就是半徑。
在歐式幾何裡，如果一個點（x，y）到原點的距離為2，那麼，根據勾股定理我們就可以很容易寫出下面的關係：x +y =4。而學過一點解析幾何的人就都知道，這就是圓的座標方程。
那麼，再回到閔氏幾何，在閔氏幾何裡到原點的距離為2的點組成的軌跡是什麼呢？其實也簡單，我們不是已經有閔氏幾何的距離公式了麼？代入進去就行了，因為是求到原點的距離，所以Δx和Δt就分別是點的座標x和t，如下圖：
我們把兩邊平方展開就得到了：
大家對比一下，這個x -t =4跟我們在歐式幾何裡圓的方程只有一個符號的差別（因為座標軸不同，作為縱軸t和y是完全等價的）。這個式子，學過高中數學的同學一眼就能看出來這是一條雙曲線，沒學過或者忘了的可以自己去找一些具體的點描上去（自己找一些x的值，然後去算t的值，最後把（x，t）組成的點畫到座標系上去，看看軌跡是什麼）。我這裡用GeoGebra（這是一個免費的線上數學繪圖工具，你輸入函式或者方程，它就會自動把對應的影象畫出來，有興趣大家自己也可以去畫一畫）給大家畫了一個圖，大家可以看看，雙曲線大致就是這麼一個形狀：
我們先甭管雙曲線在歐式幾何裡的各種幾何意義，我們是怎麼得到這個圖的？我們是在閔氏幾何裡找距離原點距離相等（這裡等於2）的點的集合，也就是說，你別看這個曲線是彎彎曲曲的，但是在閔氏幾何裡，這個曲線裡所有的點到原點的距離都是相等的，都等於2。
因為這種曲線上所有點到原點的距離都相等（閔氏幾何下），所以我們就可以用這種曲線當作一個標準來校準，這就是把它叫校準曲線的原因。還是那個尺縮效應的圖，這次我們用校準曲線來看一下。
大家看到，我加了一條過a點的校準曲線，我們假設它跟x’軸交於c點。這樣就非常清楚了，什麼是校準曲線？校準曲線就是閔氏幾何裡到原點的距離都相等的點，因為a和c都在曲線上，所以，在閔氏幾何裡oa和oc的長度是相等的，也就是oa=oc。而b、c兩點都在x’軸上，很顯然的ob
而oa就是在靜止的地面系觀測得尺子的長度，ob是在相對尺子運動的火車系上觀測到尺子的長度。我們得到的結論是ob
接下來，我們來看一個狹義相對論裡讓無數新人頭痛不已，也讓無數科普者無比心煩的一個問題。這個問題用幾何語言處理極為簡單，但是讀者不認，他們不太瞭解閔氏幾何，更無法理解幾何圖形裡代表的物理實質，你憑什麼用這個這個就代表了那個那個？但是，這個問題如果用傳統的代數語言講就極為複雜，而且邏輯非常繞，一不小心就在各種相對裡面把自己都繞進去了，分析它簡直是對智商極大的挑戰。沒錯，這就是大名鼎鼎的“雙生子佯謬”問題。
13雙生子佯謬
雙生子佯謬的描述倒是非常簡單：假設地球上有一對雙胞胎，有一天哥哥駕著宇宙飛船去太空裡裡飛了一大圈再返回地球。那麼按照狹義相對論，我們就會發現哥哥再次回到地球的時候他會比弟弟更年輕。比如說，哥哥從地球出發的時候，這對雙胞胎都是20歲，現在哥哥在太空飛了一圈再回來之後，有可能弟弟已經30歲了，哥哥才25歲。當然，這個具體的數字依賴於特定的飛行情況，但是哥哥肯定會比弟弟年輕這是一定的。
這個問題的爭議點在哪呢？它爭議就爭議在：狹義相對論裡有鐘慢效應，也就是說運動的物體他的時間會變慢。那麼似乎可以說哥哥離開地球在太空裡運動了一圈，所以哥哥是運動的，那麼哥哥的時間會變慢，回到地球更年輕好像說得通。但是，運動不是相對的麼？你站在地球上覺得是哥哥在動，那麼我站在飛船的角度來看，我也可以覺得是弟弟（包括整個地球）在遠離我然後靠近我，那麼運動的那個人就是弟弟，因此弟弟的時間更慢，兄弟見面的時候應該弟弟更年輕。這樣不就前後矛盾了麼？
雙生子問題是一個佯謬，佯謬就是說它看起來是錯的，是矛盾的，其實是正確的。也就是說，如果我們真的有這樣一對雙胞胎，哥哥去外面浪了一圈再回到地球，他是真的會更年輕。但是，這樣的話，我們要如何解釋後面那種矛盾的說法呢？也就是，站在飛船上哥哥的角度看來，運動的是弟弟和地球，為什麼不可以認為弟弟和地球才是那個時間變慢的呢？
有人意識到是加速減速這個過程在作怪，但是加速減速他一樣可以說，我在飛船上看，地球也是加速離我遠去，再加速再回來。然後甚至有人說這裡有加速度，就應該把廣義相對論搬進來解釋，在這條邪路上走地更遠的甚至說：哥哥不是加速運動麼？等效原理說加速度等效於引力，所以哥哥在加速的過程產生了引力，而廣義相對論又說引力是時空彎曲，那麼哥哥加速使得時空彎曲了。
其實，雙生子佯謬不僅是讓許多初學者疑惑，在相對論的幾何語言普及之前，許多物理學家對它也是頭疼不已。他們到了20世紀50年代還在吵這個，物理學家們吵就不是像我們這樣在群裡或者論壇裡發表一下意見看法，他們是發文章到《自然》、《科學》這樣的頂級學術雜誌裡吵，所以你可以想象一下那時的情況。但是，當幾何語言普及之後，物理學界幾乎就沒人再因為這個爭論了，因為在幾何語言下，這個問題簡直簡單得不像話，它就跟2+2=4一樣清晰簡單，那還有什麼好吵的。
為什麼幾何語言可以如此大幅度的降低雙生子佯謬的難度呢？這裡就涉及到了學習相對論裡最重要的一個事：學習相對論最重要的就是要分清楚相對論裡哪些東西是相對的，哪些是絕對的。你要是看這個理論的名字叫相對論，就認為什麼都是相對的，那就完了。其實相反，狹義相對論的兩個根基“光速不變”和“相對性原理”都是絕對的：前者說光速是絕對的，後者說物理定律的形式是絕對的，這其實是一個不折不扣的“絕對論”。
我們再回過來想一想，雙生子佯謬到底為什麼這麼麻煩？不就是因為濫用相對，認為什麼都可以相對，所以站在哥哥的立場和弟弟的立場應該都一樣從而導致了佯謬麼？那為什麼我們用幾何語言可以輕鬆把這個問題理清楚呢？因為我們在使用幾何語言的時候，我們是把時3維空間和1維時間看做一個整體的4維時空。用3維眼光看世界，3維空間和時間都是相對的，但是4維時空確是絕對的。當我們站在更高的維度（4維時空）裡看問題的時候，那些因為相對產生的各種問題就自然消失了。所以，使用幾何語言思考相對論，是站在更高的維度上看問題，這是一種思維方式上的降維打擊。看過劉慈欣《三體》的同學，想必都對降維打擊產生的效果印象深刻，學習相對論，我們也要儘快提高自己的維度~
如果想體會一下3維語言處理雙生子問題的複雜度，可以看看我之前寫過的一篇《雙生子佯謬過程全分析》，其處理問題之麻煩，邏輯之燒腦簡直滅絕人性。雖然我已經儘量清晰通俗的語言來說這個問題了，但是讀者的問題還是跟雪花一樣飛過來。最開始我還比耐心的一個個在群裡解釋，後來就實在受不了了。要跟人把這個問題徹底解釋清楚，少則一兩個小時，多則一下午，太費時費精力了。而且，後面要理解許多人的問題都非常困難，因為要提出一個正確的相對論的問題也需要一定基礎，有些同學相對論的基礎知識不牢，提的問題都是問題，那還怎麼去理解雙生子佯謬呢？
這就像是遊戲裡剛出來就要去打終極BOSS，下場自然可想而知，這也是我為什麼現在就這麼著急的來講幾何語言的一個原因：我實在不想再回答3維語言的雙生子問題了。而且，把自己侷限在這幾個效應佯謬裡，也不是什麼好事，因為講相對論的人雖然經常講這個幾個東西，但是這些東西絕非相對論的精髓，大家早點從這些框框裡跳出去，去感受一下相對論裡更精妙的東西才是好事。
14雙生子佯謬的幾何解釋
好，我們下面來看看從幾何語言是如何降維解決雙生子佯謬的問題的。我們先假設地球做慣性運動（忽略地球自轉和引力場什麼的），以地面係為基準系，我們在時空圖裡畫一畫哥哥和弟弟的世界線。
弟弟的世界線簡單，因為他一直待在地球沒動，所以他在空間座標裡沒動，流逝的只有時間。那麼，弟弟的世界線就是一條跟t軸平行的直線。
哥哥的世界線稍微複雜一點，但是也很容易。哥哥從地球出發，去太空浪了一圈再返回地球，這其中的過程無非是先加速遠離地球（加速之後有沒有勻速我們都不管了），太空裡飛了一段時間要掉頭返回地球，那麼其中必定先減速，再反向加速駛向地球，最後還要減速降落在地球上。因為勻速運動的世界線是一條斜直線，那麼加速運動的世界線就是曲線了，這曲線大致就是下面這個樣子。
我們用a表示哥哥離開地球這個事件，b表示哥哥返回地球跟弟弟見面這個事件，那麼這個時空圖就大致是下面這樣的：
問題來了，時空圖在這裡，哥哥弟弟的世界線也都畫出來了，那麼如何從圖中判斷哥哥弟弟誰更年輕呢？時空圖裡縱軸是時間軸，單從時間軸來看，哥哥和弟弟的世界線在時間軸的投影剛好是一樣長的，那麼是不是這樣就代表哥哥弟弟經歷的時間是一樣長的呢？如果他們經歷的時間一樣，那麼重逢時哥哥弟弟的年齡就應該一樣大啊，那怎麼還會有雙生子佯謬呢？這顯然跟事實不符。
那麼這個時間到底要怎麼看呢？我們先來想一想，我們要判斷地球重逢時誰更年輕，其實就是判斷在事件a和事件b之間哥哥弟弟誰自己經歷的時間更長，我這裡特別強調是自己經歷的時間，為什麼要這樣強調？在牛頓力學裡，時間是絕對的，全世界的人都共用一個時間，因此這麼說是多餘的。但是在相對論裡時間是相對的，不同參考系對時間的測量也是不一樣的（正因如此洛倫茲變換裡兩個系的時間t和t’是不相等的），那麼在哪個參考系測量的時間可以表徵一個人的真實年齡變化呢？或者換句話說，哪個時鐘可以表徵一個人年齡的真實變化呢？
答案顯而易見：只有一直跟自己處於同一個參考系的時鐘測量的時間才是自己年齡變化的真實時間。也就是說，只有我口袋裡那塊表的走時才是真正跟我的年齡增長對應的，我們把這個自己隨身攜帶的時鐘測量的時間稱為固有時。相對論裡時間是相對的，倫敦的那口大笨鐘跟我不在一個參考系，憑什麼說它的走時測量的是我的時間？
那麼問題來了：根據時空圖和世界線，我們要如何得到哥哥的固有時呢？
15世界線和固有時
在這裡，我先給出這個極為重要的結論：世界線的線長等於固有時。
這句話很短，意思卻很明確，他就是告訴我們時空圖裡那個粒子的世界線的線長就表徵了粒子的固有時，也就是跟粒子一直保持相對靜止的時鐘測量的時間。在上面的雙生子佯謬的時空圖裡，哥哥和弟弟的世界線都畫出來了，那麼我們可以求出他們的線長。現在你說世界線線長等於固有時，那我們要比較哥哥弟弟的固有時，直接比較他們的世界線線長就完了。
所以，如果我們知道上述結論，那麼雙生子佯謬這個問題就簡化為比較哥哥和弟弟世界線的線長，誰的長一些誰經歷的時間就多一些，那誰就更老，那問題就相當簡單了。因此，現在問題的關鍵就是如何理解上面的結論：為什麼在閔氏時空裡世界線的線長會等於固有時呢？
這個事情我們可以這樣理解：固有時是什麼？固有時就是自己隨身帶的時鐘測量的時間，說得再準確一點，那就是跟自己一直處在同一個參考系裡的時鐘測量的時間。因此，如果一個時鐘始終跟你處在同一個參考系裡，它自然覺得你一直是靜止不動的。比如，在飛船裡的哥哥雖然要經歷加速減速運動，還可能在宇宙裡各種浪，但是在飛船裡的人和時鐘看來，哥哥一直坐在那裡沒動。
那麼，重點來了：時鐘覺得你不動，其實是覺得你在空間裡沒動，也就是說覺得你在空間上的位移為零。那麼，你在時空（時間+空間）裡移動的間隔就將全部由你在時間上的間隔貢獻（因為空間沒動，間隔為0）。
什麼意思？我們再來理一下時空間隔這個概念：狹義相對論統一了時間和空間，用時空圖上的一個點表示發生在某個時間某個空間上的一個事件，那麼兩個事件肯定就表示為時空圖上的兩個點，那麼這兩個點之間的距離（閔氏距離）就是這兩個事件的時空間隔。而且，我們還反覆強調了，閔氏幾何裡的時空間隔，就跟歐式幾何裡的空間間隔一樣，它是不會隨著參考系的變化而變化的。也就是說，只要發生了兩個事件，那麼不管我是在地面系看，還是在飛船系看，這兩個事件資訊雖然不一樣，但是它們的時空間隔一定是一樣的。
在歐式幾何裡，歐式線元是dl =dx +dy ，所有在x軸上相隔dx，y軸上相隔dy的兩個點的空間間隔，或者說空間距離也就是dl =dx +dy 。同樣的道理，在閔氏幾何裡，閔氏線元是ds =-dt +dx ，所以，在時間上和空間上分別相差dt、dx的兩個事件，它們之間的時空間隔也就是ds =-dt +dx 。
我們現在想知道固有時，也就是想知道跟自己處在同一個參考系裡的時鐘的走時。上面我們已經分析了，在自己所處的參考系裡，肯定覺得自己是靜止的，也就是空間間隔dx=0。因為時空間隔是ds =-dt +dx ，把dx=0代入進去我們就能得到ds =-dt 。這就是在上面說的，自己參考系裡的時空間隔全部由時間間隔貢獻的意思。
有了ds =-dt ，事情就明朗了：dt就是在自己所在參考系裡的時間流逝，而ds是時空間隔，也就是時空圖上兩點的距離。這個微分符號d就是在告訴我們這是兩個間隔無窮小的事件，如果我們把許多無窮小的這種事件累積起來（也就是對ds =-dt 做積分運算），那麼dt累積起來就是時鐘流逝的時間，也就是固有時；而把ds累積起來，也就是把所有相鄰時空點之間的距離累積起來，那得到的就是時空圖裡這條世界線的長度。
這就無可辯駁的向我們證明了：世界線的長度等於固有時。
其實，只要我們理解自己相對於自己所在的參考系肯定在空間上是靜止的，所以時空間隔全部由時間間隔貢獻。而時空間隔就是時空圖裡兩點的距離，這個距離累積起來就是世界線的長度，而時間間隔累積起來自然就是這個參考系裡流逝的時間就行了。上面做的各種簡單的計算，無非就是從數學上更加嚴格地證明了這一點而已。
想通了這點就會覺得其實“世界線長等於固有時”是很正常的事情，在一些相對論的教材裡，他們甚至直接拿這個來定義標準鐘的。也就是說，他們在教材不會向你解釋為什麼“世界線長等於固有時”，而是直接告訴你“只有世界線的線長等於固有時的鐘才是標準鍾”，才是準確的鐘，否則你的鐘是有問題的。可見，在大家眼裡，這個結論實在是非常自然的。
16雙生子佯謬之完結篇
好了，如果我們能夠理解“世界線的線長等於固有時”，那麼困擾大家多年的雙生子佯謬就瞬間變成了一個極其簡單的問題。我們再來看看雙生子佯謬的時空圖：
比較哥哥弟弟重逢時誰的年齡更大，就是比較他們兩個的固有時，就是比較哥哥和弟弟世界線的線長。那麼，他們兩個的世界線誰的更長一些呢？
其實這根本都不用定量的去計算，一眼就能看出弟弟的世界線更長，因為閔氏幾何裡線段長度是時間和空間項的平方相減之後再開方得到的。這個求線段距離的公式我們前面也說了，其實就是閔氏線元稍微處理一下，如下圖：
所以，如果兩條線在時間軸上長度一樣（比如哥哥和弟弟的時間都是從a到b），那麼在空間上走的越多的它的匯流排長就越短。弟弟靜止沒動，他的世界線是完全平行於t軸的，在x軸上都沒有任何分量，也就是Δx=0，所以他的世界線肯定是最長的。哥哥因為去太空飛了一圈，所以空間上的分量Δx>0，那最終得到的S的值肯定就比弟弟更小了。
我們可以想象一個最極端的情況，我們假設哥哥以光速運動，那麼它在空間上走的距離就最大。而我們知道光子的世界線長度為0，所以這時候哥哥的世界線長度就是最小值0了，0肯定比弟弟的世界線長度更小吧。
如果大家對這種粗略的討論不放心，我們可以換種更精確的方式討論。如下圖，我們把弟弟和哥哥的世界線用很多平行於x軸的虛線分隔開，如果我們的分割線足夠多，那麼在每一個小段裡哥哥的世界線就可以近似看做一條斜直線，而它的線長是顯然比弟弟世界線裡的那一小段短的（這我們在上面已經給過結論了）。由於每一小段裡哥哥的世界線都更短，那麼累加起來的總世界線肯定還是更短了。
總之，大家如果理解閔氏時空的線長計算公式，我相信理解哥哥的世界線更短是非常容易的，而世界線更短就意味著自己經歷的時間（固有時）更短，那麼重逢時哥哥就更年輕。這樣，雙生子佯謬就是很明顯的事情了。
於是乎，我們發現讓我們頭疼不已的雙生子佯謬就這樣被解決了。在幾何語言裡，複雜的雙生子問題被簡化到僅僅比較一下哥哥弟弟兩條世界線的線長就行了，而只要我們理解在閔氏幾何裡計算線長要用閔氏幾何的方式（ds =-dt +dx ）去度量就沒什麼問題了。其實，你也不用覺得奇怪，把代數問題幾何化之後帶來問題難度的大幅度降低並不是什麼奇怪的事情，我們在初中高中的數學裡，不也經常藉助畫圖去理解函式、方程的性質麼？
這樣處理問題簡單是簡單了，但是細心的人還是會有疑慮，他覺得：雖然你在這個以地面為基準系的時空圖裡確實嚴格地證明了哥哥的世界線更短，所以回來的時候更年輕。但是我如果不以地面係為基準系呢？我在其他的參考系裡來看，來畫時空圖，比如我要是站在哥哥飛船的視角來畫時空圖，那結果會不會又不一樣呢？因為說到底，大家覺得雙生子佯謬難以理解，就是因為你可以站在弟弟的角度，也可以站在哥哥的角度，這樣一相對就沒完沒了了。
這在以前的思維裡確實是大問題，但是，在幾何語言裡這確不是問題。為什麼呢？因為線長是一個幾何量，這種幾何量是不會隨著座標系的變化而變化的（因為它們是根據線元定義的，而線元在不同的座標系裡都是一樣的），也就是跟座標系的選擇無關。這一點我們在二維歐式幾何裡也可以非常清楚地感覺到：你在二維歐式平面裡有一條線段，那麼這條線段的長度就是固定的。不管你是上下左右的移動這個直角座標系，還是順時針逆時針旋轉這個直角座標系，線段的長度始終都是一樣的，這一點相信大家不難理解。
那麼，同樣的，在閔氏幾何裡，不論你選擇哪個慣性系作為基準系，一條世界線的線長都是一樣的。也就是說只要哥哥的世界線在一個參考系裡比弟弟的世界線短，那麼再所有的慣性參考系裡都比弟弟的世界線短。這就跟在歐式幾何裡一根木棒只要在一個直角座標系裡比另一根木棒長，它在所有的直角座標系裡都比那根木棒長一樣的道理。
其實，我們再仔細想一下，當初我們為什麼選擇閔氏幾何來描述狹義相對論？不就是因為我們發現了在洛倫茲變換下，也就是在慣性參考系之間不論怎麼相互轉換，ds =-dt +dx 作為一個整體它的值是不變的麼？然後我們以ds =-dt +dx 為線元建立了閔氏幾何，而在閔氏幾何裡曲線的長度就是根據這個線元來定義的。所以，世界線的長度在閔氏幾何不同的參考系裡肯定就是一樣的，我們也壓根沒必要捨近求遠，去選擇更復雜的參考系給自己找不痛快。
這樣，我們就能消除那個疑惑，放心大膽的說哥哥的世界線更短了。於是，用閔氏幾何討論雙生子佯謬的問題就全部結束了。其實，只要把幾個關鍵的彎轉過來，你就會發現雙生子佯謬其實是非常簡單的一個問題，它完全不值得我們花費那麼多的時間精力在這裡繞來繞去（這個問題跟薛定諤的貓在社群裡並稱兩大月經問題），但是不使用幾何語言，這好像也是沒辦法的事，太複雜了。相對論還有非常多精彩的東西等著我們去探索發現，在雙生子這棵小樹上把自己吊死了豈不可惜？閔氏幾何雖然看上去有點怪異，但是當我們順著思路慢慢看的時候，就會發現它其實也沒那麼奇怪，它不過就是在歐式線元的前面加了一個負號而已，其他的邏輯跟歐式幾何都幾乎是一模一樣的。
17結語
文章到這就先告一段落，能夠堅持看到這裡的那妥妥的都是真愛了。我寫這篇文章主要是想讓更多人瞭解閔氏幾何，瞭解閔氏幾何是如何處理狹義相對論裡的問題的，最好是讓讀者能開始習慣用幾何語言討論相對論問題。
所以我不能直接給你下定義，然後告訴你如何用閔氏幾何處理這個那個問題，因為這樣很多人會不服氣，憑什麼相對論的問題可以轉化成這樣的幾何問題？為什麼閔氏幾何裡的這個就對應了相對論裡的那個問題？因為閔氏幾何並沒有那麼直觀，你把狹義相對論翻譯到閔氏幾何並不像我們把一個圖形畫到黑板上那麼顯而易見，所以我必須先把自己的知識清空，從頭從零一點點的開始講，讓大家自然的切換到閔氏幾何中來。於是，文章就不可避免的長了起來。