作者簡介： 王健，山東大學教授，研究領域為微擾量子場論與對撞機唯象學。
文章導讀
： 2021 年Chin。 Phys。 C第 12 期封面文章給大家帶來的是頂夸克的理論計算最新進展。文章中採用了求解微分方程中的常數變易法，該方法的操作比較簡單，最後得到的表示式也比較簡潔。最終，文章指出頂夸克產生過程的兩圈 Feynman 積分可以表示成一種多對數函式的線性組合形式，作者還透過數值計算來驗證了該解析結果的正確性。
一、頂夸克和粒子物理標準模型
粒子物理標準模型成功描述了基本粒子之間除引力之外的三種基本相互作用——電磁、強和弱相互作用，並經受了大量的實驗檢驗。但是，標準模型遠不是終極理論，有相當一部分理論問題和實驗現象都無法在這個框架下得到很好的解決，例如著名的規範等級問題以及暗物質現象等等。人們因此相信，標準模型只是某種更為基本的完整理論的一種近似形式。目前，對標準模型進行精確檢驗，以尋找任何可能指向新物理的訊號，是當前粒子物理研究領域中非常重要的任務。
圖 1。 粒子物理標準模型中的基本粒子。圖中分為四個區域，分別是物質世界最主要的組分——夸克 （紅色區域，有三代六種，分別為上 u、下 d、粲 c、奇異 s、頂 t、底 b） 與輕子 （藍綠色區域，也有三代六種，分別為電子 e、電子中微子 νe、繆子 μ、繆子中微子 νμ、陶子 τ、陶子中微子 ντ）； 此外還有傳遞相互作用力的規範玻色子，分別是傳遞電磁相互作用的規範玻色子——光子 （γ），傳遞弱相互作用的規範玻色子 （Z， W） 以及傳遞強相互作用的規範玻色子——膠子 （g）； 圖中位於中心灰色部分的則是著名的希格斯玻色子 （H），其與物質粒子 （包括夸克與輕子） 的湯川 （Yukawa） 相互作用給出了物質質量起源。（圖片來源於網路）
於 1995 年在 Tevatron 實驗中由 CDF 和 D0 合作組發現的頂夸克是人們發現的最後一種夸克。它與底夸克共同組成了第三代夸克，在標準模型的框架下人們預期它同前兩代上型夸克一樣有著差不多的量子數，然而實驗表明頂夸克是粒子物理標準模型中的 “大胖子”，其質量相當於 172 個質子，比次重的底夸克重了 30 多倍。如此大的質量與標準模型中的電弱對稱性破缺能標非常地接近，因此人們猜測頂夸克可能在電弱對稱性破缺中扮演了相當重要的角色，因此從實驗上精確檢驗頂夸克與其它基本粒子的耦合常數可以幫助我們發現新物理的蛛絲馬跡。
圖 2。 發現頂夸克的 Tevatron 實驗，位於隸屬於美國國家能源部的美國費米國家加速器實驗室 （簡稱費米實驗室）。（圖片來源見水印）
二、頂夸克的實驗測量和理論計算
在強子對撞機上，頂夸克不僅可以透過強相互作用成對產生，也可以透過弱相互作用單個產生。在單個產生過程中，根據其中 W 玻色子的不變質量，又可分為 t-道，s-道以及 tW 聯合產生道。由於單頂夸克產生過程的截面正比於頂夸克的電弱耦合常數的平方，因此人們可以利用對該截面的測量來精確測量頂夸克的電弱耦合係數，特別是其中的 Cabibbo-Kobayashi-Maskawa 矩陣元 Vtb。在本文的工作中，作者們主要關注 tW 聯合產生道，因為該產生道在歐洲核子中心 （CERN） 的大型強子對撞機 LHC 上的產生截面比較大，並且目前人們已經明確觀測到該訊號。
圖 4。 bg -> tW 產生過程藝術圖。
理論上，人們已經實現了在量子色動力學 QCD 次領頭階對 tW 道的產生截面的精確計算，其所有階軟膠子重求和效應也在近期計算出來。這些結果均表明更高階輻射修正效應依然是很顯著的。在未來，隨著 LHC 積累的實驗資料不斷增加，實驗結果的精度也進一步提升，這要求理論方面預言也應達到相同或者更好的精度，因此人們需要考慮 QCD 次次領頭階計算帶來的貢獻。但是，由於該過程涉及的能量標度較多，其對應的兩圈費曼圖的計算極具挑戰性，因此人們目前還沒有得到完整的 QCD 次次領頭階的理論預言。在這篇文章中，作者們目標是向攻克該難題邁出第一步。
圖 3。 強子對撞機上 tW 聯合產生過程的雙圈 Feynman 圖之一。其中加粗線是有質量的費米子線，它的存在顯著增加了該圖解析計算的難度。
三、頂夸克的 Feynman 圖計算
過去一二十年間，人們對散射振幅的數學結構有了更加深刻的認識，並相應地發展了一些新的處理多圈費曼圖的方法，從而使得很多以前無法完成的計算慢慢地能夠實現。近年來，人們重點關注的是微分方程方法，其避免了直接積分，並能將複雜的積分問題轉換成較為簡單的求解偏微分方程的問題，這一思路上的轉變大大降低了對散射振幅的計算難度。但是正如 “天下沒有免費的午餐” 所說的那樣，該方法的一個重要步驟是將偏微分方程寫成一種所謂的正則形式，在這種形式下，人們可以利用一些特殊的數學結構更快地得到解析結果。相應地，人們針對這個方法開發了一些特殊的程式，用以實現自動地將一般的微分方程轉化成這種特殊的正則微分方程形式，但在實際使用中，這個重要的步驟的實現始終不是什麼方便的事情。而在本文中，作者們採用了求解微分方程中常用的常數變易法，首先在四維時空來求解得到的微分方程，然後回到 D 維時空，就得到了該微分方程正則形式。該方法操作比較簡單，最後得到的表示式也比較簡潔。然後，作者們再根據一些物理上的要求，例如在一些特殊引數點積分應該不存在奇點，來得到微分方程的邊界條件。最後，作者們把兩圈費曼積分的結果表示成一種多對數函式線性組合的形式，並且作者們還透過數值計算來驗證解析結果的正確性。然而為了計算完整 QCD 次次領頭階結果，作者們指出這裡還需要計算剩下的兩圈費曼圖以及實發射量子修正，這也正是作者們未來的工作計劃之一。
圖 4。 廣義多對數函式的遞迴定義。
編輯： 大貓