大衛·希爾伯特（圖源：Wikimedia Commons）
想象一下，有這樣一家有無窮多房間的旅館。
當你到了這家酒店時，房間已經住滿了（可能他家有很大一本待客名冊），你需要接待員為你找一間房子。
這位接待員很聰明，他讓酒店 1 號房間的客人搬進 2 號房間，而 2 號房間的客人搬入 3 號房間——也就是說在 n 號房間的客人搬入 n + 1 號房間。可以想象他們一起搬移時的場景。
當所有人安置好後，1 號房間就空出來了 ，所有房客也都安排妥善。
很好，這個例子展示了 ∞ + 1 = ∞。
在一個有無限多房間但已滿房的酒店，你永遠可以多找出一個房間。
天才
大衛·希爾伯特
二十世紀最偉大和最高產的數學家——大衛·希爾伯特（David Hilbert），在講座“超越無限（ ber das Unendliche）”中透過引入這個例子來解釋最反直覺的概念無限集合和超限算術（transfinite arithmetic）。
希爾伯特希望能以此展示“無窮”這個概念以及利用它來計算的合理方法。他說“不要懼怕它”，而是系統地、全方位地接受它。
格奧爾格·康托爾
無窮（infinity，∞）此前在數學上一直被視為“禁忌”，第一批試圖在堅實基礎上建立起這個概念的數學家像格奧爾格·康托爾（Georg Cantor），曾受到嚴厲的批評；而希爾伯特卻仍在這個理論中發現了魅力。
從反直覺的無限集合（infinite sets）中產生的一些問題，透過維基百科這樣表述：
存在有無窮多的房間的情況下，“每個房間裡都有一位客人”和“不能有更多客人可以被容納”的表述是不等價的。
無窮大並非是一個實數或者複數，所以當遇到表述 ∞ + 1 = ∞ 時需要特別注意，這個等式在我們定義計算的“數空間”（number space）前是沒有任何意義的。
但是我們當然可以假定有這樣一個擴充套件空間以便我們對∞ 進行加減運算。
說回這個思想實驗，當有 k 個客人到達這個滿房的酒店，而我們需要另外 k 個房間要怎麼辦呢？
還是一樣的，我們只需要讓入住的每個房間的客人搬入現在房號 + k 的房間就可以了，這樣前 k 個房間就空下來、可以入住了。比如說如果有三個人來到這個酒店，每個人需要一個房間，那麼 1 號房間的客人就需要搬入 4 號房間，而 2 號房間的客人需要搬到 5 號房間，以此類推。
但又怎麼理解 ∞ - 1 呢？
在無窮酒店，我們只需要讓 1 號房間的客人離開酒店，再讓 2 號房間的住客搬入 1 號房間 ， 3 號房間的住客搬到 2 號房間，於是我們又得到了一個 ∞ ：
∞ - 1 = ∞。
達
到無窮
目前還沒有什麼問題。
但是如果說，又來了無窮多個客人呢？這裡所說的“無窮多”是可數的無窮多，從數學上來講，就是說可以用正整數對它們一一標記。
這次就不能像之前一樣，將所有賓客做一個無窮大的挪動了。但我們可以把 1 號房間的客人挪到 2 號房間，而 2 號房間的客人挪到 4 號房間，也就是說， n 號房間的客人挪到 2n 號房間。
這個過程不需要考慮住在一個很大號碼的房間的客人需要搬到更大號碼房間的難度——我們只需要知道這在數學上是完全可行的。
現在所有奇數號碼的房間就空出來了，可以安置所有新來的賓客。
上面的過程實際上是在說，這個無窮自然數集合的“尺度”——稱為基數（cardinality，或者稱為“勢”）和偶數自然數集合的基數相同（儘管它是自然數集合的一個子集）。
等等……這是不是就意味著，自然數和偶數自然數的數目是一樣的？
呃，其實，確實是這樣的……
在數學中，這種情況下定義函式 f（n） = 2n 表示偶數自然數和自然數的對應關係，來比較兩個無限集合。這個函式有一個反函式，g（n） = n/2 ，代表從偶數自然數到自然數的對應關係。
此外，f 具有雙射（bijective）的性質，意味著所有的偶數自然數都是以自然數作自變數的 f 的值，而且每一個偶數自然數有且最多有一個這樣的自變數與之對應。這樣的對應關係被稱為“一一對映”，同時也是滿射，就是兩個集合中的函式對映可以按元素配對。
想象一下，如果你不會計數但需要對比兩堆石頭哪一堆比較多，該怎麼辦？
這時，你可以將兩堆的石頭不斷地兩兩配對，直到只剩下一堆石頭或是一個也不剩，然後停止組合。如果只有一堆留下，那麼這一堆石頭有更大初始數目；如果兩堆完全可以兩兩配對，最終完全匹配，就說明兩堆石頭的初始數目相同。
我們利用這個概念來對比兩個無限集合，和上面石頭的場景完全相同。只不過配對不發生在石頭間而是雙射函式間。
更大
的無窮大
那如果來了無窮多輛可以載無窮多客人的巴士，我們需要為所有客人分別預定一間房呢？
沒有問題！
先將每輛巴士和上面的每個座位用自然數標號（畢竟在可數的無限集合範圍內），對應的每個人就有一個由兩個數字組成的獨一無二的“地址”：一個數 s 代表巴士上的座位號碼，另一個數 b 代表巴士的標號；令酒店中的住客的巴士號 b = 0。
只需要把每個人安排到房號是 2s· 3b的房間就可以了。
比如說在房間號碼 1119744 = 29· 37的客人對應的是 7 號巴士的 9 號座位。這個情形可以利用素數推廣至更多層。
舉個例子，如果有無窮多艘渡輪，每艘上面載了無窮多輛巴士，每輛巴士上坐有無窮多個乘客，那麼我們仍然能夠像上面那樣擴充套件酒店來安排住客，只需要引入素數 5 到對應的運算中。
已有的三層無窮大巢狀或是更多有限層的巢狀都可以透過這種方式求解——畢竟素數也是無限多的，我們實際上用不完。
素數分解方法只是解決這個問題的眾多方法之一，但起碼可以解決，問題是如果巢狀的層數是無窮多的呢？這種問題就不一定能被解決了。
這是因為有些無窮大更大！
沒錯，當引入集合的“尺度”或者說基數的問題時，無窮大就不僅僅是無窮大了。例如，所有分數（分子分母都為整數）的集合和自然數集合的基數是一樣的。
沒錯，分數和自然數的數量是一樣多的，雖然自然數也可以用分數表示……
讀者可以透過尋找兩個集合間的雙射來證明，也就是將兩個集合中的每個元素兩兩配對，尋找到一種一一對映的關係。
如果自然數集和給定集合 A 之間存在雙射，那麼 集合 A 就是可數的，A 的基數為自然數基數，記作 ，有時候也被記為 。
連
續統
所以，是有些無窮大要“更大”，於是就會留下一些後續有趣的問題——
比自然數基數要更大的集合有哪些呢？不可數的集合長什麼樣子？有多少不同的無窮大呢？
比自然數基數更大的集合中，一個很好的例子是被記為 的實數集。這個集合是不可數的，也就是說 和 之間不存在雙射的對應。
實數集中除了包括所有的分數，也包括像 π 和 e 這樣的不能被寫成由整數構成的分數形式的數。
研究在自然數和實數的基數之間是否存在其他無窮大的問題被稱作連續統假設（continuum hypothesis），但在我們現有的公理化體系中這個假設不能被證明真偽。
這樣的邊緣哲學問題就涉及到元數學和數理邏輯了，這個學科中我們可以討論是否需要尋找可以替代的公理系統來解決這個問題，然後創造出一個完全不同的數學體系。如果再深入的話…我只能說很有趣！
此外，無窮大的種類也有很多，所以我們到底在說哪一種啊？
轉載內容僅代表作者觀點
不代表中科院高能所立場
編輯：April
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