注：本文作為學習筆記，內容取材並整理自日本神奈川工科大學名譽教授安部正人（あべ·まさと）的著作：《自動車の運動と制御——車両運動力學の理論形成と応用［第2版」》
汽
車執行的工況很複雜，需要模擬的問題無窮無盡：操穩，平順，NVH。。。無數種工況都需要進行處理。於是，輪胎動力學就成為了一門永遠都不會有標準答案的學問——而這隻有一個原因——輪胎是汽車與路面接觸的唯一部件，汽車的動力來源就是取自輪胎。
所以，安部正人直接把輪胎力學作為車輛運動力學控制理論開篇的第一章，排在了車輛動力學基礎之前，足見這門學問的分量。
如果你喜歡數學，覺得數學學不夠，那就來研究輪胎力學吧！總有一天，你會體驗到自己的學習極限並感到深深的絕望！
達芬奇說：力學是數學的天堂，有什麼樣的數學，就有什麼樣的力學。
牛頓說：幾何學建立在力學實踐之上，它無非是普通力學的一部分。
輪胎力學，這不是一門夕陽學問，MF，Unitire。。。目前全世界都沒有一個非常完美的輪胎理論能夠解決目前輪胎建模中遇到的所有問題，這裡仍然充滿了挑戰，挑戰永無止境。
壹
綜述
地
面上行駛的車輛，從其運動形式可以大致分為以下兩種：
一種是完全被預先設定在地面上的軌道所束縛而行駛，以鐵路車輛為代表。
另一種是不受軌道等限制，可以在地面上透過車輪的操舵（掌舵操作）自由行駛的車輛：飛機可以在大氣中不受其他限制的情況下自由飛行，船舶在水面上同樣可以透過舵的操作自由航行。
飛機、船舶，以及能夠在地面上透過車輪的操舵自由行駛的車輛，都不必拘泥於預先規定的軌道等，可以在自己的意識下自由地在空間或平面內進行運動。
從運動力學的角度來看，飛機、船舶、汽車這三個運動體都可以說是具有相當本質的共性，即接受由自己的運動產生的力，利用這種力進行自己希望的運動。
更具體地說，飛機翅膀和大氣的相對運動帶來升力，船舶船體和水的相對運動產生升力，車輛根據車輛和地面的相對運動，車輪上工作受力，並自由運動，發揮其功能。
如上所述，上述三者的運動體的運動和控制是與運動體的本質功能有關的問題，關於飛機作為航空（運動）力學，關於船舶作為船體運動力學被體系化。我們今後也可以把運動和控制作為問題的車輛，看作和飛機和船舶一樣，透過自己的運動自己製造力，在地上自由地進行獨立運動的物件來處理。
為了處理這樣的車輛運動和控制問題，這裡就要試設想一下典型的車輛的運動動力學模型：
這個模型是操縱前方2輪和後方2輪的車輪被安裝在看做是剛體的車身上的車輛——可以安裝車輪，從而不直接沿著軌道而能自由行駛的車輛。除了一般最熟悉的乘用車、大型卡車、公共汽車等之外，還有建設用車輛、產業用車輛等特殊車輛。
乍一看來，似乎不能直接討論這些運動。但是。如果以這些車輛的基本執行為主題的話。透過將車輛抽象化到最一般、最簡單的四輪車當中來思考，可以獲得很多基本的車輛運動知識。
在上述的車輛動力學模型中，車輪不具有重量，被認為是剛性的車身代表車輛的重量。現在，假設以該車輛的重心點為原點，為車輛建立座標系，車輛的前後方向是x軸，上下方向z軸，左右方向為y軸。
有了這個座標為基準，就可以將車輛運動的自由度作為三維空間內剛體的運動分類為以下6種。
① z方向的平移，上下運動（Up & Down）
② y方向的平移，左右運動（Lateral）
③ x方向的平移，前後運動（longitudinal）
④ x軸的旋轉運動（Rolling）
⑤ y軸的旋轉運動（Pitching）
⑥ z軸的旋轉運動（Yawing）
再進一步，把六項運動分為兩部分加以考慮：
一種是。①、③、⑤的運動，這些是與操舵沒有任何直接關係的。
①的運動具體來說是由於路面不平而產生的上下方向運動，與行駛中車輛的乘坐感覺有關。
③的運動是前後方向的直線運動，包括油門和剎車的車輛驅動和制動。
⑤是伴隨著上下方向的路面不齊和③的運動而產生的運動，這也與車輛的乘坐舒適度有關。
與此相對，②、④、⑥是另外一類與操舵相關的：
②的運動是透過操舵來進行的車輛橫向運動
⑥的運動是透過操舵來改變車輛方向的運動
④的運動伴隨著②和⑥的運動而產生的車輛滾動。
通常的車輛由車上的駕駛員控制其運動。根據駕駛員的操舵，車輛按照自己的運動力學的固有特性，橫向運動，圍繞垂直z軸的Yawing運動，並伴隨著這個，車身進行滾動運動。
司機並不是完全沒有意義的操舵。司機可以看到前方道路，瞭解行駛目標路線的情況，或者在道路前方設定自己應該走的目標路線。與此同時，司機需要判斷自己對照目標路線處於怎樣的位置，基於這些資訊，駕駛員自行判斷是否進行適當的操舵，從而讓車輛按照指定的目標路線或駕駛員自己設定的目標路線運動。
下圖展示了這樣的車輛運動與控制之間的關係。
這樣，不受地面上設定的軌道等直接的約束的影響，透過操舵在平面內自由運動的車輛，透過人或其他方法受到適當的控制，得以進行有意義的運動。我們的興趣的中心和研究物件就更加明確了：
透過觀察車輛對某一特定的操舵的運動的反應，而明確的車輛本身就具有的獨特的運動力學性質。
具有某種運動力學性質的車輛，在透過人或其他方法得到控制的情況下，會達成怎樣的運動。
如果是受人控制的車輛，怎樣的具有運動力學性的車輛對控制者來說容易控制。
這些問題將是本書所研究的重點。
壹
輪胎研究物件
在
前一節中我們談到，車輛運動不直接拘泥於預先放置在地上的軌道，可以在自己的意志下，自由獨立於水平面內運動。並且，車輛運動的力是由車輛對地面相對運動產生的。
車輛和地面的接觸點是車輪。車輪如果在與旋轉面成直角的方向上具有速度分量，則會受到垂直於其行駛方向的作用力。也就是說，上述使車輛運動成為可能的力量是指，透過車輛和地面的相對運動，車輪從地面受到的力——這正好對應於在飛機運動中垂直於機翼行進方向工作的升力和在船體轉向時，垂直傳銻運動方向的浮力（對船體來說是側向的力）。
這樣，作為物件處理的車輛所安裝的車輪，不僅承擔著支撐著車身一邊轉動，對地面前後方向產生驅動和制動力的作用，還承擔著使這種車輛的本質功能即自立運動成為可能的作用。
因此，要處理車輛的運動和控制問題，就必須事先掌握使其運動和控制成為可能的、關於在車輪上工作的能力的知識。由此，本章主要闡明瞭車輪和地面相對運動產生的力的產生機制及其力的性質——這便是
輪胎力學
。
當車輛直線行駛時，車輪的行駛方向通常位於旋轉平面內。車輪的旋轉平面與其行駛方向時一致的（圖a所示）。當車輛橫擺或轉彎時，車輪的行駛方向就會跑出其旋轉平面（圖b所示）。
圖b是發生
側滑
的情況，車輪旋轉平面的垂直方向將產生力——這可以看作是車輪發生側向滑動時抵抗側滑的反作用力——這是車輛實現獨立運動所必須依賴的
側向力
。
垂直於車輪行駛方向的分力被稱為
側偏力
，當
側偏角
（slip angle，車輪行駛方向和車輪旋轉平面之間的夾角）很小的時候，可以認為
側偏力
和
側向力
相同。
這種
側
向力
可以被看作是流體力學當中的概念：流體中以迎面角前進的物體受到的升力。
無論是哪種輪胎，在做伴有側滑的轉動時，都會產生垂直於車輪旋轉面的力。上圖對比了不同
側偏角
的情況下，充氣橡膠輪胎，實心橡膠輪胎，鐵車輪產生的
側向力
的差異。
很容易會發現，鐵車輪所能產生的最大側向力，還不到橡膠輪胎的1/3。而且，充氣橡膠輪胎所能產生的側向力要大於實心橡膠輪胎車輪，側向力相對側偏角也更加線性。
對於車輛獨立運動，伴有側滑的車輪能產生的側向力越大越好。因此，可在無約束的平面上自由運動的車輛通常都裝載充氣輪胎——這不光有利於乘坐舒適性，而且還有利於獲得操縱車輛所需的側向力。
一般而言，輪胎與地面的接觸產生力。上圖顯示了一個伴有側向滑動的輪胎及其在工作狀態下的變形。圖a表示從輪胎的縱向和側向觀察到的輪胎變形，圖b表示俯視觀察到的輪胎接地區和外周的變形。
從輪胎接地區的前部看，輪胎變形的方向幾乎與輪胎行駛的方向平行，在這一區域，輪胎和地面之間並未產生相對滑動。而輪胎的後端相對輪胎的行駛方向則產生了很大的側向變形和相對滑動。
當側偏角增大時：
輪胎接地區的前端仍然保持與輪胎行駛方向平行。
到了接地區中心，側向變形在接地區的某點處達到最大。
此後，輪胎接地區滑離接地中心線，產生相對滑動，側向變形不再增加。
如果側偏角再進一步增加：
側向變形的最大點會迅速地前移。
當輪胎的側偏角達到10°-12°時：接地區將不再平行於輪胎行駛方向——而是前後部都產生與輪心幾乎對稱的變形。此時，可以認為接地區的所有位置都產生了與地面的相對滑動。
輪胎的側向變形產生了一個作用於輪胎接地區的
側向力
（lateral force），它的分佈與輪胎變形的分佈對應。在小側偏角的情況下，輪胎的
側向力
（垂直於車輪旋轉方向）通常被看作是
側偏力
（cornering force，垂直於車輪行駛方向）。
從輪胎的側向變形來看，產生的
側向力
的作用點並不一定與輪胎接地區的中心重合，因此會繞輪胎接地區的中心產生一個力矩，即所謂的“
回正力矩
”（self aligning torque）——其作用是使輪胎側偏角減少。
於是，我們就引出了輪胎力學當中，真正重要的兩個研究物件：
側向力（lateral force）
回正力矩（self aligning torque）
側向力
和
回正力矩
特性可以被統一稱作輪胎的
側偏特性
。我們在下一節將詳細討論它。
值得一提的是，從懸掛幾何的角度來講，輪胎的側向力可能不單單來自於輪胎的側偏角，輪胎的外傾角（輪胎旋轉平面與鉛錘面之間的夾角）同樣可以帶來側向力。
圖：具有外傾角的輪胎帶來的側向力。
如果輪胎保持
外傾角Φ
（camber angle）不變，並在水平面內自由轉動，則軌跡應該是半徑為
R/sinΦ
的一段圓弧。如果輪胎被懸掛幾何限制不能做這樣的圓周運動，而是被限定只能做直線運動，則就會受到圖示的力P的作用，這個由輪胎相對地面外傾而產生的側向力被稱作為
外傾側向力
（camber thrust）。
貳
Fiala理論（側偏特性）
有
關輪胎側滑產生側向力的分析中，Fiala所提出的數學模型廣為流傳，並通常被稱作關於輪胎側偏特性的Fiala理論。Fiala理論被看作是揭示輪胎側偏特性的基本理論之一。
Fiala的輪胎結構模型如上圖所示：
A，被看作剛體，相當於車輪的輪輞；
B，為等效彈簧，分別在徑向和側向等效替代可彈性變形的充氣內胎和輪胎側壁；
C，相當於較薄的輪胎胎面基底，並連線輪胎兩邊的側壁；
D，相當於輪胎胎面橡膠，但它不是環狀的連續體，而是由大量環繞輪胎周圍的獨立彈性體組成。
當側向力作用於輪胎接地區時，輪胎將發生側向變形。由於輪輞是剛體，不發生變形，而輪胎胎面基底則會產生側向的彎曲（剪下）變形。
如圖所示，x軸平行於輪輞中心線，y軸表示輪胎胎面基底偏離x軸的側向位移。y1代表在0≤x≤L1範圍內接地區中心線偏離x軸的側向位移，y2表示在L1≤x≤L範圍內接地區中心線偏離x軸的側向位移。β為輪胎的側偏角，L為接地區的長度，b為接地區的寬度。而且：
在L1範圍內，輪胎與地面之間沒有相對滑動
在L2範圍（L1~L），輪胎與地面發生相對滑動
我們繼續建模，來觀察輪胎胎面基底的側向變形y。
輪胎胎面基底沿著周向展開，就得到了以上圖畫，將圓變成一根梁來分析變型。這根梁放置在輪胎結構模型等效的彈簧上。如果輪胎受到的側向力F僅沿y方向集中作用於x=0處，思考梁的變形可以得到以下方程：
E為輪胎胎面材料的彈性模量，I為輪胎胎面基底的截面慣性（二次）矩，k為單位長度彈性基礎的彈簧常數。
對公式求解，得到側向位移的通用解為：
，
｜ax｜
繼續，移動原點位置，使y在x=0，x=L時為0，座標變換後方程變為：
這個方程就是輪胎胎面基底側向位移y的表示式。
胎面基底表達之外，我們還要看輪胎胎面橡膠真正的接地區域，即接地區中心線的側向位移y1和y2。
y1的大小隻與β相關：
輪胎胎面橡膠與胎面基底之間產生了一個（y-y1）/d的剪下變形。
在接地區縱向各點，每單位長度作用有下式表達的側向力：
G代表輪胎胎面的剪下模量，ν代表泊松比。
隨著接地區向後移動，y1-y將變大，f1也越來越大。如果f1的值超過地面與輪胎胎面橡膠之間的摩擦力，在L1～L（即L2）的範圍內將產生相對滑動，胎面橡膠的剪下變形變為（y2-y）/d。
導致這一變形的力f2，即為輪胎胎面橡膠與地面之間的摩擦力。
為計算f2，我們設輪胎的垂直載荷為W，並假設W產生的接地區壓力p沿x軸軸向的分佈如下圖所示：
於是，載荷峰值位於輪胎接地區中心的方程可以表達為：
，
進而，f2的方程可以寫為：
聯合f1和f2的方程表達：
讓f1=f2，求的L1的解為：
終於，我們知道了f1，f2，L1，現在終於可以針對接地區域的縱向各點做積分計算，求取側向力的合力F了：
將L1方程帶入方程F，Fiala對此近似求解得到：
這就是輪胎
側偏角
與
側向力
的基本關係。其中：
有了
側向力
，我麼再來看
回正力矩
。再回到輪胎變形模型的接地區影象：
顯然，作用於輪胎接地面的側向力並非對稱於接地面的中心。於是，它將導致側向力產生一個繞接地面中心的鉛錘軸的力矩，也就是
回正力矩
。
展開後：
Fiala近似求解，得到輪胎
側偏角
與
回正力矩
之間關係的基本方程：
至此，我們得到了側向力與側偏角，回正力矩與側偏角關係的數學方程。
問題是，這兩個方程能帶給我們什麼有趣的資訊呢？
先看側向力的方程，當β角很小的時候，單位側偏角的側向力（即
側偏剛度
）可以表達為：
來看輪胎的最大摩擦力μW，已知：
於是：
繼續定義ψ為：
我們可以把關於F和M的方程轉換為：
這便是1954年Fiala由簡化的理論模型得到的無量綱解析式。
對以上兩個方程進行微分計算，不難求得：
當ψ=3時，F/μW能夠取得最大值。即F/μW=1
當ψ=3/4時，M/μW能夠取得最大值。即M/μW=27/512
換言之，當側向力F在側偏角為：
時為最大，其最大值為：
Fmax= μW
同時，回正力矩M在側偏角為：
時為最大，且最大值為：
Mmax
= 27lμW/512
繪圖表達的話，無量綱的側向力F/（μW），回正力矩M/（lμW）和側偏角ψ=Ktanβ/（μW）的關係為：
從圖上觀察，結論就比較清晰了：
當側偏角β較小時，側向力幾乎與tanβ成正比。
當側偏角β大於某個數值後，側向力趨於飽和，不再隨側偏角增加而增大。
當側偏角β較小時，回正力矩M幾乎與tanβ成正比。
當側偏角β大於某個數值後，回正力矩趨於飽和，並開始隨側偏角增加而減小。
總之，如果側偏角β很小，則tanβ≈β，可認為側向力和回正力矩均與β成正比。當側偏角β很大時，側向力不再與β成正比。
再進一步，當β的數值很小的時候，我們還可以省略掉二次及以上的項。
於是，對應於側偏角β的側向力和回正力矩可以被進一步簡化為：
兩個方程當中的K被叫做側偏剛度，可以寫成以下形式：
ξn代表的是
輪胎拖距
（pneumatic trial），即M/F的比值，用圖形來表達，就是側向力的作用點到接地區中心的距離。
當β很小的時候，這個值是一個只跟l有關的值，從F和M的簡化方程比值就可以求得：
ξn=l/6
。
好了，以上我們討論了有
側偏角β
時，作用在輪胎上的力。接下來，我們將考察有
外傾角φ
且保持直線行駛時輪胎所受到的力——
外傾側向力
。
下面就是Fiala對有外傾角φ的情況作出的數學解析：
當考慮輪胎外傾時，即使不產生側偏角，輪胎胎面基底的中心線也不是直線，而是一段圓弧。採用拋物線來擬合這個圓弧的話，就可以建立以下數學方程：
R為輪胎胎面基底的有效半徑，由下式給出：
其中，R為無載荷時輪胎胎面基底的半徑，ke為輪胎的縱向彈簧常數。
輪胎外傾時的胎面變形
如果輪胎在保持外傾角的狀態下自由行駛，則輪胎胎面橡膠的接地區中心將會繪製出上圖所示的弧形軌跡。如果輪胎只是做直線運動，則輪胎接地區中心應該沿著x軸運動——這就意味著，在輪胎胎面基底和地面之間的輪胎胎面橡膠上將產生剪下變形，這個變形帶來的就是外傾側向力Fe。
由Fe作用域接地區中心，產生的輪胎胎面基底變形可以表達為：
接地區距離x軸的位移為0，x方向各點上，輪胎胎面基底剪下變形為：-（yc-y）。作用於輪胎外側的側向力表達為：
積分得到：
可以發現，外傾側向力和外傾角成正比。比例係數為Kc：
至此，我們建立了輪胎側向力和力矩的一系列程，瞭解輪胎的側偏特性，受到多個因素的影響：E，ν，I，b，d，k，l，μ，W：
E，ν：取決於輪胎胎面的材質和構造
I，b，d：由輪胎的形狀決定
W：輪胎的垂直載荷
k：輪胎的充氣壓力決定，與氣壓成正比
l：取決於輪胎的形狀，也受到輪胎垂直載荷雨充氣壓力的影響
μ：取決於輪胎的胎面材質和路面狀態
綜上，下面四個因素決定了輪胎的側偏特性（關於側偏力和回正特性）：
輪胎的材質，構造和形狀
輪胎的垂直載荷
輪胎的充氣壓力
路面狀態
在實踐當中，從這四個因素推倒出輪胎特性引數的影響很難實現。直接測量四個因素的影響也不容易。但是，測量具有側偏角β、或者外傾角φ的輪胎側向力F和力矩M則是可行的。
因此，接下來，我們可以做實驗來直接得到結果來評估四種因素對於輪胎側偏特性的改變和影響。
叄
側偏特性試驗驗證
垂直載荷對側向力的影響
普通轎車輪胎的
側向力
與
側偏角
之間的關係，不同的垂直載荷下的關係可以表達為：
當側偏角β小於4度左右時，側向力是線性增加的。此後，側向力的增加將放緩，並在8-10度時達到飽和。對於一輛普通轎車而言，側向運動通常是線上性區域範圍內發生的。
圖上曲線的斜率，就對應著輪胎的
側偏剛度
——即單位側偏角產生的輪胎側向力，是評價輪胎側偏特性的一個重要引數。
繼續，上圖展示了
垂直載荷
對
側向力
的影響。
側偏角很小時，輪胎的垂直載荷對側偏力幾乎沒有影響。隨著側偏角的增加，側向力的飽和值之間的差異變得顯著。
這一規律可以從模型推理直接獲得：實際上，如前文所述，只有在輪胎胎面基底與地面發生相對滑動的區域，輪胎的垂直載荷才能對側向力產生影響。當相對滑動的區域越多時，即側偏角很大的情況下，輪胎側向力的大小將接近摩擦係數和垂直載荷的乘積——此時垂直載荷的影響最為顯著。
繼續深入，我們再研究下輪胎
垂直載荷
對輪胎
側偏剛度
的影響。
從
側向力
和
側偏角
的關係可以推匯出，當輪胎載荷較小時，側偏剛度會隨著載荷的增加而增加，但當載荷超出某一極限的時候，
側偏剛度
可能會減少。
我們引入一個新的概念：
側偏剛度係數
。
側偏剛度係數
是
側偏剛度
與此時
載荷
相除得到的數值。
圖中展示了
載荷
與
側偏剛度係數
（即
側偏剛度/載荷
）之間的關係
側偏剛度係數
隨著輪胎
載荷
的增加而線性減少——對這一規律建模，
側偏剛度
和
輪胎載荷
的關係可以寫為：
c為載荷在零附近的側偏剛度係數，c1為其載荷相關係數。
這個方程告訴我們，輪胎的
側偏剛度
與輪胎的
載荷
曲線可以近似為一條經過原點的拋物線：
側偏剛度
隨輪胎
載荷
的增加而達到一個峰值，之後隨著輪胎
載荷
的增大而減小。
而輪胎通常在
側偏剛度
隨
載荷
增加的範圍內工作。
摩擦係數對側向力的影響
如果我們把垂直載荷的影響用μW來表達的話，可以定性的分析伴隨輪胎側偏角的變化，不同路面摩擦條件對側向力的影響：
幹瀝青10mph，溼混凝土20mph，溼瀝青9mph，不同路面條件對側向力的影響
從上圖可以看到，當側偏角較小時，摩擦係數對側向力幾乎沒有影響，而當側偏角較大時則有顯著影響。這就意味著：摩擦係數對側向力的影響與垂直載荷的影響是相似的。
胎壓對側向力的影響
對某一恆定的力而言，輪胎胎面基底的變形y越小，輪胎的側向力就越大。而想要輪胎胎面基地變形y更小的話，輪胎彈性基礎的彈簧常數k，以及輪胎胎面基底的彎曲剛度EI就要越大。
由於彈簧常數k取決於輪胎的充氣壓力，因此可以預測：側偏力應該會隨著輪胎充氣壓力的增大而增大。
但是增大輪胎充氣壓力會降低接地的長度l——這會使得側向力隨著接地區長度減少而減少。
兩相作用的結果就是一個有趣的現象：一定充氣壓力變動範圍內，側向力幾乎不受充氣壓力的影響。
這個現象還可以透過另一個實驗佐證，即
側偏剛度
和
充氣壓力
之間的關係：
當垂直載荷相對較小時，接地區長度對側向力的影響比彈簧常數k大，即此時的側偏剛度隨著輪胎充氣壓力的增加而減小。
當垂直載荷相對較大時，彈簧常數k對側向力的影響比接地區長度大，即此時的側偏剛度隨著輪胎充氣壓力的增大而增大。
輪胎形狀對側向力的影響
輪胎胎面基底的彎曲剛度EI由輪胎的形狀決定。如果給定輪胎的材質和構造，則輪胎形狀受到的影響主要取決於輪胎胎面基底的轉動慣量I。
也就是說，輪胎的尺寸越大，轉動慣量I值越大。
對於半徑相同的輪胎，寬度越大，越扁平，轉動慣量I值越大。
於是，為了獲得更高的側向力，我們會傾向於把輪胎製造成扁平的形狀。這也是我們在運動型車甚至跑車上能夠看到的現象。
當寬度b增大，厚度d減小時，輪胎的側偏剛度會增大。這可以從實驗資料當中，輪胎胎面橡膠厚度相當的輪胎胎面溝槽深度和側偏剛度的圖形關係中發現端倪：
從圖形中可以發現，當輪胎胎面磨損使得輪胎厚度d減小時（等效溝槽深度變小），
側偏剛度
將會增加。
驅動力和制動力對側向力的影響
在制動或驅動過程中，輪胎不僅會受到支撐車輛荷重的垂直載荷，還受到車輛制動或驅動的縱向力——這會影響輪胎的側向力。
為什麼？
這就是經典的“摩擦圓”理論了。摩擦圓是說，作用域輪胎上的側向力F和驅動力（或制動力）T總是滿足以下不等式：
也就是說，作用在輪胎與地面接觸面內的水平合力不會超過其垂直載荷與摩擦係數的乘積。合力的向量只能位於半徑為μW的圓——摩擦圓內。
如果輪胎在縱向收到的驅動力或者制動力的作用，則在大偏角時能達到的最大側向力，可以表達為：
如果T=0，則上式將變為我們熟悉的一般形式：
Fmax = μW
如果摩擦圓加入側偏角的圖形化表達，我們就會得到這樣的圖樣：
當驅動力或制動力為零時，側向力F與側偏角β的關係，可以用圖上的曲線段OA表達。當考慮到驅動力或者制動力（不為零）時，側向力將不會到達A的高位，曲線段OA代表了這一情形。
我們假設：不論側偏角時多少，在任何值時，由驅動力（或制動力）引起的側向力的下降率是相同的，則將建立以下方程：
或者可以寫成橢圓曲線方程：
按照方程的定義，對於給定的側偏角，側向力F與驅動力或制動力T的關係曲線是橢圓：
關於驅動力和制動力對側向力的影響，人們實踐當中做了很多研究。從實測值當中，我們也能得到關於摩擦圓的影象直覺：
有驅動力（正向）和制動力（負向）作用下的側向力（縱軸）
側偏角對回正力矩的影響
來看一個真實的測試資料，展現側偏角與回正力矩之間的關係：
關於側向力，我們知道：
側偏角較小時，輪胎垂直載荷對側向力的影響較小。
側偏角較大時，輪胎垂直載荷對側向力的影響顯著。
而這張圖告訴我們，無論側偏角如何，輪胎垂直載荷對回正力矩的影響都很大。
一個原因是：垂直載荷的影響發生在輪胎接地區與輪胎橡膠之間存在相對滑動的範圍內（即部分接地區），而回正力矩是前後兩個接地區側向力影響下作用的結果。因此載荷越大，其對回正力矩的影響就越大。
另一個原因是，輪胎垂直載荷的增大會導致接地區長度增加，因此側向力產生的力矩也會增加，如果你還記得回正力矩M的數學表示式，你就會發現方程當中包含了l的三次方項以及更高的項。
胎壓對回正力矩的影響
對於一個真實的輪胎來說，回正力矩可能會隨胎壓增加而降低。
原因是：如前文所述，雖然側向力隨著輪胎充氣壓力增加而增加，但與此同時接地區的長度減小了——這會對會整理句產生不利影響。
反過來，降低充氣壓力，回正力矩會增加，但是當壓力低於某個值時，回正力矩將不再增加了——因為這時，側向力的減小對回正力矩的影響比氣壓降低更加顯著。。
一旦側偏角增大，輪胎拖距ξn（如果你還記得，這代表了回正力矩和側向力的比值）就會急劇減少，因此。
外傾角對外傾側向力的影響
從外傾側向力的公式可知，當側偏角為零時，輪胎的外傾側向力和外傾角成正比。
實驗也得出了同樣的發現：
從圖上還可以發現，單位
外傾角
對應的
外傾側向力
（
外傾側向力系數
，即曲線的斜率）幾乎隨著
輪胎垂直載荷
的增加而線性增加。
實際上，
外傾側向力系數
取決於
垂直載荷
，並隨著垂直載荷的增大而增大。從該方程還能發現，
外傾側向力系數
等於
側偏剛
度和l/6R的乘積。
由此可以斷定，外傾側向力系數與側偏剛度有著相似的特性。
輪胎接地缺長度l和有效半徑R的比值l/R通常在0。3左右，因此
外傾側向力系數
通常小於
側偏剛度
的1/10：
側偏角和外傾角對側向力的影響
車輛行駛過程中，往往同時存在
側偏角
和
外傾角
，Ellis就研究了
側偏角
和
外傾角
共同作用產生
側向力
的情況。
Ellis的研究給出了一個有趣的結論：不同
外傾角
下（即圖上的
キャンバ角
），
側偏角
（即圖上的
橫すばり角
）與側向力的關係曲線近乎平行——這就意味著，外傾角和側偏角產生的作用於輪胎上的側向力可以獨立地進行處理。
在轎車上，通常使用的扁平輪胎導致與以上規律產生出入，原因在於，當發生外傾時，扁平輪胎的接地區內，輪胎載荷的側向分佈很容易形成內側輪胎載荷大，外側載荷小的情況。
輪胎載荷減少會引起側向力的下降，輪胎載荷增加會引起側向力增加。
透過側偏剛度和載荷關係圖對兩者進行對比的話，前者的影響更加顯著，因此扁平輪胎總體所產生的側向力會小於載荷均勻分佈的情況。
在
側偏角
和
外傾角
共同影響下，總側向力更加接近以下卡丁車扁平輪胎的研究結果：
與Ellis研究的不同之處在於：雖然主要是側偏角決定了側向力，兩者為同一方向，而外傾角決定的外傾側向力比重較小。但由於外傾角還會引起輪胎載荷分佈的變化，這個變化會導致側向力的減小，因此由側偏角和外傾角引起的總的側向力會減少。
肆
驅動和制動的側偏特性
上
一節中提到了驅動和制動情況下，利用摩擦圓來定性地分析輪胎的側偏特性。但這個模型卻過於粗放，更合適的方式是如第二節一樣，利用Fiala理論建模來研究驅動和制動工況下輪胎的側偏特性——即伴隨輪胎滑動，胎面基底相對輪輞發生彈性變形，同時胎面橡膠相對胎面基底進一步發生變形。
但這樣思考會讓模型變得過於複雜。取而代之的是，我們將輪胎胎面基底作為唯一的彈性部分。這樣一來，我們就能夠同時考察縱向和橫向的彈性變形了。
這就是“刷子模型”，再刷子模型裡，輪胎胎面橡膠並非環狀的連續體，而是由沿輪胎周向的無數個獨立的彈性體構成。
刷子模型所建立的座標系，在三個方向上研究輪胎力。ω代表輪胎旋轉的角速度，輪胎行駛方向為β，輪胎速度分量為u。
制動工況
與Fiala之前單純研究轉向側偏的情況有所區別，在引入縱向運動後，輪胎還會發生縱向滑移。由於刷子模型簡化了輪胎的建模，我們只需要考慮胎面橡膠的變形。上圖就畫出了接地面內輪胎的變形情況。
O‘-P’的軌跡是輪胎胎面基底的運動軌跡，而O-P的軌跡是接地點的移動軌跡。P‘在地面上的投影點為P“，P和P’在x方向上的相對位移可以表示為滑移率s的函式。s可以表達為以下方程：
在接地點的
附著區
，輪胎接地面的單位受力為：
Kx為輪胎胎面橡膠單位長度的縱向剛度，Ky為單位寬度的側向剛度。
在接地點的
滑移區
，輪胎接地壓力分佈與第二小節的方程一致：
這樣，讓σ=μp，就可以求解xs‘，即附著區受力曲線和滑移區受力曲線的交界點x座標。
對xs‘進行無量綱化處理並求解，得到ξs：
當xs‘>0，即ξs>0，則接地區由附著區和滑移區組成；
當xs‘=0，即ξs=0，則接地區只存在滑移區
ξs>0時：
ξs=0時：
這裡假定滑移力的方向θ近似為滑動起點處的滑移方向，即
據此，
實際上：
Ks相當於
側偏角
為零，
滑移率
趨近於零時
單位縱向滑移率
所對應的
縱向力
的總和。
Kβ相當於
滑移率
為零，
側偏角
趨近於零時
單位側偏角
對應的
側向力
的總和。
而且：
，
以上Ks和Kβ可以均針對輪胎載荷，透過實驗測量來確定。
驅動工況
與制動工況的模型類似，我們可以給出驅動工況的Fx，Fy的表示式：
ξs>0時：
ξs=0時：
其中，
側向力與縱向力相互作用
側向力
和
縱向力
關於
側偏角
（橫すばり角）和
縱向滑移率
（縦すべり率）的相互作用可以表達為：
結合
制動
工況和
驅動
工況，這兩者與
側向力
的關係可以表達為：
驅動和制動工況下輪胎的回正力矩
藉助複雜的運算，我們可以得到M的積分表達，在這裡不再贅述。只寫出簡化形式：
公式中的第一項為側向力引起的回正力矩；
第二項為縱向力產生的回正力矩——這是由側向力引起的縱向力作用點偏移Fx/Ky帶來的，Ky代表的是輪胎的側偏剛度。
這裡的ξn是輪胎拖距，隨側偏角的增加而減小，相應的輪胎接地面的滑移會增加，並在全滑動的時候趨近於0。
值得注意的是，與輪胎側向力情形不同，回正力矩在驅動和制動時有很大的差異，且隨著側偏角的變化呈現出相當複雜的規律：
伍
動態側偏特性
以
上關於輪胎力學的討論的歸屬於靜力學的部分，為了考察側偏角變化時的瞬時側向力和回正力矩，我們需要了解輪胎的動態側偏特性。
Fiala數學模型並不適合用來處理動態的部分，因為模型將複雜到無法進行有效分析。更簡化的方式，是限定在小側偏角範圍，利用下文所示宏觀輪胎模型考察側向變形的側向力和回正力矩的瞬時響應。
側向力的動態特性
沿輪胎迴轉方向行駛，突然施加一個側偏角β時，接地面在側向產生y的變形，ẏ是接地區的側向速度，接地區的側偏角為β-ẏ/V。F為輪胎的側向力，K為側偏剛度，則：
ky為輪胎的側向剛度。變換消去y，得到：
繼續做拉普拉斯變換，簡化微分方程求解，用側向力相對於側偏角的傳遞函式來表達，得到：
T1簡化表達後，所得到的數學形式不是別的，正是
一階延遲環節
。再用jω替代s，側向力的頻率響應可以寫成：
側向力對側偏角的頻率響應，實線代表斜交輪胎，虛線代表子午線輪胎
回正力矩的動態特性
由側向力產生的靜態回正力矩Ms的響應可以用一階延遲環節來表達，這裡只多乘上了一個輪胎拖距：
此外，還要考慮輪胎自身突然發生側偏時，輪胎的扭曲變形——扭曲變形產生的力矩構成瞬時輪胎回正力矩的一部分。可以想象，輪胎的瞬間讓扭轉角達到側偏角β，然後，扭轉角隨輪胎轉動而減小，再穩定狀態下歸零。
這個由輪胎扭轉產生的力矩Mt相對於側偏角的響應，也透過一階延遲環節來表達：
輪胎回正力矩的響應同時包含了Ms和Mt，轉換為頻率響應後，方程為：
回正力矩相對ω/V的頻率響應測量資料也與模型匹配，這間接證實了計算結果的合理性。
完
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