柯爾莫哥洛夫，20世紀最偉大的數學家之一。在此前推送過的文章《機率論和統計學中的巨匠——數學與水晶球（下）》中簡略地提到，讓機率論成為現代數學中一部分的，除了早期歐洲的一些數學“大神”的鋪墊工作外，正是柯爾莫哥洛夫把機率論建立了公理化的基礎上。這項工作讓他有了“機率論中的歐幾里得”的美譽。在學術上，這位天才數學家的研究幾乎涉及數學中的所有領域，還在經典力學、彈道計算、結晶學、湍流等諸多領域有所建樹。他還是一位教育家，不僅帶出過一大批優秀的數學家，還投身基礎教育，創辦學校。
作為現代機率論的創始人，他的一生頗有“隨機”的意味，想了解他的一生以及學術成就，並非一言兩語幾篇文章所能道盡。本文僅取其中一個側面，在學術生涯起步時，在政治風波下，以及對藝術的研究中，瞭解這位偉大的數學家。
撰文 | Slava Gerovitch（麻省理工學院數學系講師）
編譯 | Leo
踏入數學世界
如果兩個統計學家在森林裡迷了路，那他們首先要做的事情就是把自己灌醉，這樣兩個到處亂晃的醉漢或許能彼此相遇。但如果他們是要想背起竹筐採蘑菇，那還是少喝兩杯為好，畢竟毫無目的的隨機走動會讓他們回到已經採摘過的地點。
這件事情在統計學中，被稱之為隨機遊走（random walk）或者說是醉漢漫步（drunkard‘s walk），這一模型表示，系統的未來狀態僅取決於當前的狀態，而與過去無關。時至今日，這一模型已經廣泛地應用於股價建模、分子擴散、神經活動和種群動力學等過程，也可以用來解釋遺傳學中的“基因漂變”是如何導致某一基因（比如眼睛顏色）在人群中普遍存在的。
頗具諷刺意味的是，該理論模型不在乎過去、不在乎歷史，但它本身卻可謂是歷史悠久。它是蘇聯數學家安德烈·柯爾莫哥洛夫（Andrei Kolmogorov，1903-1987）眾多理論成就之一。這位奇才異能的數學家涉獵極廣，他在平衡政治生活與學術生活的同時，也改變了“不可能”在數學中的地位。
柯爾莫哥洛夫（Андре й Никола евич Колмого ров，1903。4。25-1987。10。20）丨圖源：yarwiki。ru
後俄國革命時代的莫斯科文化思想活躍，當時氛圍中充滿著實驗性文學、前衛的藝術與激進的新科學思想。年輕的柯爾莫哥洛夫也受此影響。在 20 世紀 20 年代初，柯爾莫哥洛夫還只是一名歷史系的學生，那時他在莫斯科大學提交了一篇論文，對中世紀俄羅斯人的生活進行了非常規的統計分析。他發現，政府對村莊的課稅往往是整數，而分到每家戶人家時就成為了分數。因此，他認為在當時稅收政策是按村繳納再攤派到戶，並不是按戶納稅再由村莊收齊上繳。“孤證不立”，歷史教授對他的發現給出了極為嚴厲的批評，“一個證據是不夠的，你至少要找到五個例證。”
這也就不奇怪為何柯爾莫哥洛夫會投身數學——數學定理只證明一次就夠了。
青年時代的柯爾莫哥洛夫丨圖源：yarwiki。ru
學術理論背後的政治現實
柯爾莫哥洛夫轉向機率論領域也同樣源於一次偶然。當時，機率論這一數學分支的聲譽並不太好，因為過去的人們總是把機率視為神靈意志的體現。在古埃及和古典希臘，人們就認為擲骰子是一種可靠的占卜和算命的方法。到了19世紀初期，歐洲數學家已掌握了一些正確計算機率的方法，並將機率定義為目標事件數與所有等可能事件數的比值。但其缺陷在於，機率是根據等可能的事件來定義的，因此只適用於元素有限的系統。面對無窮大的系統時，比如有無數個面的骰子，或者一個連續的球面，當時的機率論就顯得捉襟見肘了。
然而，柯爾莫哥洛夫是珍惜聲譽與名望的。換專業後，柯爾莫哥洛夫最先被莫斯科大學裡的一個數學圈子所吸引。他們的領導者是一位魅力非凡的老師，尼古拉·盧津（Nikolai Luzin，1883-1950）。盧津的弟子們給這個組織起了個綽號叫盧津塔尼亞（Luzitania）——把盧津的名字和一戰中被擊沉的著名英國遠洋郵輪盧西塔尼亞號（RMS Lusitania）連在了一起。如柯爾莫哥洛夫所說，他們是透過“共同的心跳”凝聚在一起。他們常在課後一起批判數學創新。在他們的口中，偏微分方程（partial differential equations）成了“偏不尊重方程”（partial irreverential equations），有限差分（finite differences）成了“美夢差分”（fine night differences）。那時，機率論因其理論根基不牢又悖論叢生，在他們口中就變成了“不幸論”（theory of misfortune）。
尼古拉·盧津 （Николай Николаевич Лузин，1883。12。9-1950。1。28），描述集合論的創始人之一，在三角級數、複分析、微分方程和數值計算等領域有傑出貢獻。丨圖源：ru。wikipedia。org
受盧津塔尼亞的影響，柯爾莫哥洛夫對機率論的態度也發生了轉變。20 世紀 30 年代斯大林主義的恐怖活動爆發，秘密警察會在半夜敲響每個人的房門，毫無規律的隨機性似乎統治了人們的生活。在恐懼的威懾下，很多人為了自保而告發他人。數學圈中的布林什維克黨活動人士裡就有盧津的學生。他們以盧津在國外發表自己的研究論文為由，指控其政治上不忠誠並對其進行批判。柯爾莫哥洛夫也在國外發表過文章，出於對自己學術生涯的擔心，他對政治問題表現出了明顯的妥協。當莫斯科大學數學研究所所長因支援宗教而被監禁時，他接任了這一職位。此時，柯爾莫哥洛夫也加入了批判盧津的人群。盧津收到了來自蘇聯科學院的審判，失去了所有的職務，但他卻逃脫了來自政府當局的逮捕和槍決。
與盧西塔尼亞號一樣，盧津塔尼亞也被擊沉了。不一樣的是，盧津塔尼亞是被自己的船員擊沉的。
“不可能”的大圓
且不談柯爾莫哥洛夫的道德問題，他確實“贏了”，保住了自己的研究工作。而與他在政治上的順從所不同的是，柯爾莫哥洛夫的研究思想卻是比較激進的，他將機率論做了根本性的修正。他所使用的是一種由法國傳入的名為測度論（Measure theory）的東西，當時算得上是時髦理論。測度論將長度、面積、體積等概念泛化，使得無法被常規方法測量的數學物件可能被測量。例如，一個有無限多個孔的正方形，被切割成了無窮多份並散落在了無限的平面中，藉助測度論我們仍然可以表示出這個七零八碎的物體的“面積”（測度）。
柯爾莫哥洛夫在機率和測量之間進行了類比，得出了五個公理，現在通常表述為六個，他的工作使機率論真正成為數學分析中的一部分。他的理論中最基本概念是“基本事件（fundamental event）”，即單一實驗的結果，例如擲硬幣。所有基本事件構成了一個 “樣本空間（sample space）”，即所有可能結果的集合。舉個例子，假如某個區域常會出現閃電，樣本空間就包括該區域所有可能發生閃電的位置 。一個隨機事件被定義為樣本空間中的一個“可測集（measurable set）”，而隨機事件的機率則是可測集的“測度（measure）”。例如，閃電擊中某位置的機率只取決於這個位置的面積（“測度”）。兩個同時發生的事件可以用它們的測度的交集來表示；條件機率可以看成測度的相除；兩個互不相容的事件其一發生的機率則用測度的加法來表示（也就是說，A或B被閃電擊中的機率等於它們面積之和）。
大圓悖論（The Paradox of the Great Circle）就是透過柯爾莫哥洛夫的機率論得以解決的。大圓悖論是說，假設有外星人會隨機降落到一個完美的球形星球上，且降落到每個點的機率也都是平均的，這是否意味著所有球體的大圓（great circle，即過球心的平面和球面的交線，把球體分成了兩個相等的半球）上的降落機率都是一樣的呢？其結果是，對於赤道所在的大圓而言，圓上每個點的機率是均等的。而對於經線來說，靠近赤道的點機率大，靠近兩極的點機率小。這一發現或許可以用越靠近赤道緯度圈越大來解釋。但是，這種結果與我們的直覺相違背，因為對於一個完美的球體而言，透過旋轉，赤道可以變成任意一條經線。柯爾莫哥洛夫認為，大圓是一條線段，面積是零，因此測度為零。這一悖論的矛盾之處就在於我們無法嚴格計算相關的機率。
“大圓”，定義並不嚴格丨圖源：en。wikipedia。org
大圈悖論在機率論中稱為Borel-Kolmogorov 悖論，隨機變數在以經線和緯線兩種條件下的分佈下得到了不同結果，實際上是測度為0的條件機率問題。丨圖源：Yarin Gal
在零測度的條件機率世界中短暫的逃避了“大清洗”後，柯爾莫哥洛夫仍然要為現實世界的問題所困擾。二戰時期，蘇聯當局要求柯爾莫哥洛夫研究提高炮火效率的方法。柯爾莫哥洛夫發現，在某些情形下，與其提高每一顆炮彈的命中率，還不如對小幅度偏離目標的範圍進行連續猛擊。這一策略被稱之為是“人工散佈（artificial dispersion）”。在柯爾莫哥洛夫主持下的莫斯科大學機率系也計算了低空、低速轟炸的彈道表。為表彰柯爾莫哥洛夫在二戰時期的貢獻，蘇聯政府於1944年和1945年授予了他兩枚列寧勳章。二戰後，他擔任了熱核武器計劃的數學顧問。
洞察藝術世界的機率視角
出於專業興趣，柯爾莫哥洛夫實際上對哲學更加有所偏愛。數學出身的他相信，這個由隨機決定的世界卻有序執行，其背後也有機率論的規律可循。他常常思考那些“不可能”的事情在人類生活中的影響。
1929年，在一次獨木舟旅行中，柯爾莫哥洛夫與數學家帕維爾·亞歷山德羅夫（Pavel Alexandrov，1896-1982）相遇，從此二人也成為了終生的好友。在一封長信中，亞歷山德羅夫坦率地指責柯爾莫哥洛夫喜歡在火車上與人攀談，並暗示這種交際太膚淺，並不能真實地瞭解一個人。而柯爾莫哥洛夫表示了反對，他以一種激進的機率論視角來看待社會交際。在這樣的交際互動中，交際的物件是更大群體的統計樣本。“人會從環境中領悟真諦，並將養成的生活方式與世界觀帶給周圍任何的人，不只是特定的朋友。”柯爾莫哥洛夫在回信中說。
對柯爾莫哥洛夫來說，音樂和文學也非常重要，他相信自己可以從機率的視角去洞察人類心靈的運作方式。他也是一個文化精英主義者，認為藝術的價值是分三六九等的。最頂尖的就是歌德、普希金和托馬斯·曼的著作，還有巴赫、維瓦爾第、莫扎特和貝多芬的音樂作品——這些作品的永恆的價值類似於永恆的數學真理。柯爾莫哥洛夫強調，每一件真正的藝術作品都是獨一無二的，是所謂“不可能”的事物，是超脫統計規律以外的事物。他在1965年的一篇文章中諷刺地問道，“有沒有可能把‘托爾斯泰的《戰爭與和平》’以一種合理的方式納入‘所有可能的小說’集合中，並進一步假定這一集合中存在某種特定的機率分佈？”
柯爾莫哥洛夫對繪畫、音樂、雕塑、建築等藝術有濃厚興趣丨圖源：yarwiki。ru
同時，柯爾莫哥洛夫也渴望能找到解密藝術創作本質的鑰匙。1960年，柯爾莫哥洛夫為一組研究人員配備了機電計算器，指派他們計算俄羅斯詩歌的節奏結構。柯爾莫哥洛夫對實際韻律與古典韻律的偏差特別感興趣。在傳統詩學中，抑揚格是由一個非重讀音節跟著一個重讀音節組成的。但在實際的創作中，這條規則卻很少被遵守。普希金的《葉甫蓋尼·奧涅金》是俄語中最著名的古典抑揚格詩，全詩的5300行中，幾乎有四分之三的詩句違反了抑揚格定義，超過五分之一的音節都非重讀音節。柯爾莫哥羅夫認為，重音偏離古典韻律定義的頻率為詩人提供了一個客觀的“統計畫像”。在他看來，一種不太可能出現的重音模式恰好反映了藝術的創造性和表現力。透過對普希金、帕斯捷爾納克和其他俄國詩人作品的研究，柯爾莫哥洛夫認為，詩人對韻律格式的獨特運用，奠定了自己作品的“調性”。
為了衡量文字的藝術價值，柯爾莫哥洛夫還採用了字母猜測法來估算自然語言的熵（entropy）。在資訊理論中，熵是對不確定性或不可預測性的度量。對於資訊而言，一份資訊的不可預測性越大，它所攜帶的資訊量就越多。在柯爾莫哥洛夫眼中，熵成為了一種評價藝術獨創性的指標。他的研究小組進行了一系列實驗：給志願者們展示一段俄羅斯散文或詩歌，並讓他們猜下一個字母，再猜一個，以此類推。柯爾莫哥洛夫私下說過，從資訊理論的觀點來看，蘇聯報紙的資訊量不如詩歌。因為政治話語會使用大量的固定短語，內容更容易預測。而對於詩歌來說，儘管存在嚴格的格律要求，但那些偉大詩人的作品卻難以預測。他認為這就是詩人的獨特標誌，也是藝術上的不可能，但機率論有助於衡量藝術的價值。
雖然將《戰爭與和平》這樣的小說置於一個機率樣本空間的想法遭到了柯爾莫哥洛夫的蔑視，他卻可以透過計算《戰爭與和平》的複雜性來表達其不可預測性。柯爾莫哥洛夫假設，複雜性是一個物件的最短描述長度，或者是生成一個物件的演算法的長度。確定性的物件的描述是簡單的。比如，它可以透過一個週期性的0和1組成的序列產生。但不確定的、真正隨機的物件則是複雜的，任何生成演算法的長度都必須和物件本身一樣長。比如，無理數，小數點以後的數字沒有規律可循（迴圈小數可用一個簡潔的分數來表示）。因此，大多數無理數都屬於複雜物件，因為要描述它們就只能原樣再寫一遍。這種對複雜性的理解是符合直覺的，即沒有任何辦法去預測、描述一個隨機物件。今日，這一觀點對於衡量一個物體所需的計算資源非常重要，在網路路由、排序演算法和資料壓縮都有所應用。
柯爾莫哥洛夫與他創辦的學校學生一起丨圖源：internat。msu。ru
瞭解不可能就是最大的可能
按照柯爾莫哥洛夫的標準來看，他自己的一生也是複雜的。柯爾莫哥洛夫於1987年去世，享年84歲。他一生經歷過俄國革命、兩次世界大戰和冷戰，而在學術上他幾乎觸及了數學的一切領域，其影響也遠超學術界。無論他的人生歷程屬於“醉漢遊走”，還是“不走回頭路的採蘑菇之旅”，這一段歷程都難以預測，難以描述。他在描述並應用“不可能”的成功，使機率論真正成為“可能”，由此為無數科學與工程應用開闢了新的天地。當然，對於不可預測性，他的理論也拉大了人類所擁有的直覺和數學理論之間的差距。
對於柯爾莫哥洛夫來說，他的思想既沒有消除不確定性，也沒有肯定我們世界根本上的不確定。他只是提供了一套嚴謹的語言來討論那些無法確定的事情。他曾經說過，“絕對隨機”並不比“絕對必然”更有意義，我們無法對不可知的事物存在確切的認知。
但要感謝安德烈·柯爾莫哥洛夫，我們可解釋自己何時以及何因不知道。
本文譯自The Man Who Invented Modern Probability
https：//nautil。us/issue/4/the-unlikely/the-man-who-invented-modern-probability