微積分基本定理
我們在大學都學過的微積分基本定理，它是這樣的：
該定理背後的直覺是非常簡單的。函式從點a到點b的導數的積分是所有df變化的和，而不是它的離散級數的和：
在上述和中，“中間”項在每一輪求和之後都會相互抵消，最後只剩下“邊界”項，即第一個和最後一個。
我們現在要討論的是，我們如何利用上述定理的直覺，以便在更深的層次上掌握高斯定理和斯托克斯定理？
高斯定理
高斯定理，又稱散度定理，一個向量場透過一個封閉的二維表面的向外流量等於這個場在整個表面上的散度之和。我們用數學的形式書寫成：
誠然，第一次看到這個定理時似乎有點令人生畏，但它背後的直覺其實很簡單，它與微積分基本定理類似。我們知道，一個向量場在某一點的散度是衡量該向量場在該點的發散程度。
具有正發散性的向量場的圖示因此，上述定理左邊的三重積分，將向量場分散在整個體積V上的所有趨勢（散度）加起來，也就是曲面S所包圍的體積V。
上述曲面積分中的點積在右手邊只“用”了向量場的法向分量，即相對於封閉曲面的法向分量。在此基礎上，右手邊的表面積分計算出S表面上向量場的總向外通量。
上述兩個量，即邊界處的外向通量和體積內所有點的發散量之和，之所以相等，其直覺和我們理解微積分基本定理的直覺一樣。當上述所有散度加起來時，由於相反的散度，在體積的中間會有很多抵消，向量場中唯一“倖存”的部分是不能被抵消的部分，即沿表面邊界的法線部分，這是向外通量的另一個說法。
在理解這些定理時，應該牢記以下的一般概念：
一個導數（可以是標準導數，也可以是散度或旋度）在一個區域上的積分等於該區域邊界處的函式值。
我們將用這個思想來直觀地理解斯托克斯定理。
斯托克斯定理
斯托克斯定理說，一個三維表面上的向量場的總旋度等於該表面邊界上的場的環流。我們這樣寫：
讓我們用一些更簡單的詞來描述斯托克斯定理。就像高斯定理關注的是一個向量場的散度，斯托克斯定理關注的是一個向量場的旋度。
向量場的旋度是衡量向量場圍繞有關點的捲曲程度。
因此，左邊的曲面積分將向量場沿特定三維曲面S旋度的所有趨勢相加。
右邊的線積分有個名字。它被稱為向量場的環流，它是向量場圍繞有向曲線C（在這種情況下是曲面S的邊界）迴圈的程度的度量。
到目前為止，向量場相對於一個曲面的環流和總旋度相等的原因應該是顯而易見的。表面內部“相反”的旋度趨勢相互抵消，最終留下的是場的環流，即場在表面邊界的旋度。
